Transformadas z

La transformada Z inversa La transformada z inversa permite obtener la secuencia x(kT) a partir de su transformada X(z). Proporciona informacion de la secuencia xkTsolo en los instantes de muestreo “KT”, k= 0, 1, 2 … puesto que lo que se obtiene son los valores de xkT, toda la informacion que cae fuera de esos instantes es desconocida. Esto hace que una misma secuencia pueda coincidir con el muestreo procedente de distintas senales continuas xt. La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de La Place en sistemas de control de tiempo continuo.

Para que la transformada Z sea util, se debe estar familiarizado con los metodos para hallar la transformada Z inversa. La notacion para la transformada Z inversa sera Z-1. La transformada Z inversa de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n]. Existen cuatro metodos para obtener la transformada Z inversa y seran: 1. Metodo de la Division Directa. 2. Metodo Computacional. 3. Metodo de expansion en fracciones parciales. 4. Metodo de la Integral de inversion. Metodo de la division directa

Expresando X(z) en forma de cociente, este metodo consiste en dividir los polinomios del numerador y del denominador para obtener

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una serie de potencias z-1 de manera que, por inspeccion, los valores de la secuencia xkT son los coeficientes de esas potencias. Metodo de la expansion en fracciones parciales El metodo de expansion en fracciones parciales que se utiliza para sistemas discretos es identico al metodo de expansion en fracciones parciales utilizado en sistemas continuos Expresando X(z) como: Xz= boZm + b1Zm-1 + … + bz-1Z + bmZn+ a1zn-1 + …+ an-1 z+an

Primero hay que factorizar el polinomio del denominador de X(z), de la forma: Xz= boZm + b1Zm-1 + … + bz-1Z + bmz- p1z- p2… z- pn Luego se expande X(z) en fracciones simples de manera que puedan encontrarse sus transformadas facilmente en una tabla X[n] con n ? 0 | X[Z] | Radio de Convergencia |Z| > R | d[n] | 1 | 0 | | Z-m | 0 | U[n] | | 1 | n | | 1 | n2 | | 1 | an | | |a| | nan | | |a| | (n+1)an | | |a| | | | 1 | | | 1 | | | | Ejemplo Halle la transformada inversa de Expandiendo en fracciones parciales se tiene que:

Usando una tabla de transformadas, se tiene que: X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0, 1, 2,… Metodo de integracion de inversion La integral de inversion de la transformada Z es: Z-1Xz= xkT= xk= 12? j C. Xzzk-1dz Siendo C un circulo en el plano Z, con centro en el origen, dentro del cual quedan todos los polos de Xzzk-1. La solucion de la integral de inversion aplicando el teorema de los residuos es: Z-1Xz=xk= i=1mresiduo de Xzzk-1 en el polo z=zi de Xzzk-1 = K1+ K2…+ Km Donde los terminos K1+ K2…+ Km corresponden a los residuos de Xzzk-1 en los polos p1 , 2… pn respectivamente. Los residuos se calculan de la siguiente manera: * Si el denominador de Xzzk-1 tiene un polo simple en z=zi, entonces el residuo correspondiente sera: Ki= limz > ziz-ziXzzk-1 * Si el denominador de Xzzk-1 tiene un polo multiple en z=zi de orden r, entonces el residuo correspondiente seria: Ki= 1r-1! limz > zi dr-1 dzr-1 z-zirXzzk-1 Ejemplo Calcular la transformada z inversa de Xz= 11-az-1 Region de Convergencia: |z| > |a|. Sea C la circunferencia |z| = r > |a|. Asi: xn= 12? j C. Xzzk-1dz= 12? jC. znz-adz

Supongamos que n ? 0. Aplicando el Teorema de los Residuos xn=residuoznz-az=a =an Cuando n < 0, entonces aplicamos nuevamente el Teorema de los Residuos xn= residuo znz-az=0 + residuoznz-az=a = -an+ an=0 Por lo tanto, la transformada z inversa de X(z) es xn= anu(n) Transformada Z Modificada Todo Sistema de tiempo discreto lineal invariante en el tiempo (LTI) con memoria se puede describir por una convolucion discreta. Si el sistema tambien es lumped, entonces este tambien se puede describir por una ecuacion LTI en diferencias.

La transformada Z de f(K) , K = 0, 1, 2, … se define como una serie de potencias infinita de z-1, en esta serie, z-i puede ser interpretada como indicando el instante de muestreo ith . En otras palabras, z0 indica el instante de tiempo inicial K = 0; z-1 indica el tiempo K = 1 y, en general z-i indica el instante de tiempo k = i. En este sentido, la transformada Z meramente expresa la secuencia como una funcion de z-1 con z-i indicando su instante de tiempo. En esta interpretacion, no hay mucha diferencia entre una secuencia y su transformada Z. or conveniencia, llamamos z-1 el elemento unidad-retraso. La transformada Z se puede expresar en forma cerrada como funcion racional de Z. Ello puede ser desarrollado usando la siguiente formula (1. 0) Donde r es una constante real compleja con valor absoluto menor que 1 denotada como | r | < 1. Si | r | > 1, la serie de potencia en (1. 0) diverge a ?. Si r = 1, la suma es ?. Si r = -1, la suma podra ser 1 o -1 y es por lo tanto indefinida. Asi la condicion |r| < 1 es esencial en (1. 0). Ahora se podra usar (1. 0) para desarrollar la forma cerrada de la transformada Z.

Ejemplo: Considere la secuencia de tiempo positiva f(kt)=bk, K=0,1,2…. Donde b es numero real o complejo. Su transformada Z es Si es menor que 1 entonces la serie de potencias infinitas converge y, usando (1. 0), se puede expresar como: (1. 1) Esta es la transformada Z de f(k) = b, k = 0,1,2,…, estrictamente hablando (1. 1) se sostiene solamente si . TRANSFORMADA Z INVERSA METODOS PARA HALLARLA Y TRANSFORMADA Z MODIFICADA Pablo Daniel Dominguez Universidad Santiago de Cali Area de Matematicas Para Ingenieros Facultad De Ingenieria 2009.