Trabajo Mate

Trabajo Mate gy lichoascndras ID, 2016 17 pagcs LOGICA Cuando pensamos en lógica usualmente recurrimos al concepto definido como (La capacidad de pensar) y partimos del hecho de que esta solo es partlculary exclusiva del hombre. pero el pensar humano no es arbitrario, sino que está sujeto a una serie de reglas o leyes. Es decir, para que esa capacidad racional proporcione al hombre saber, un conocimiento verdadero, debe ajustarse a una serie de reglas o leyes que son, precisamente las que estudia la lógica.

Toda ciencia o disciplina se define haciendo referencia a su objeto material y objeto formal. Dicho de otro modo, toda ciencia se especifica señalando su abeto de estudio y el punto de vista desde el que PACE 1 ori? material de la lógica Sv. ipe to sólo los pensamiento ue e pretensión de verda un determinado esta do, el objeto unciativos, ya que n algo tienen una etenden describir odas las ciencias o disciplinas, ya sean empíricas o especulativas, se articulan sobre pensamientos enunciativos o proposiciones.

Por otra parte, en lo que se refiere a su objeto formal, la lógica estudia los pensamientos enunciativos desde el punto de vista de las reglas que garantizan su corrección o legitimidad

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también podemos omar en cuenta la definición de (Dewey) en (La Reconstrucción de la Filosofía) dice que la lógica es un tema de profunda importancia porque tiene fundamentos empíricos y aplicaciones experimentales. Por ello, el problema de la lógica consiste en la posibilidad de desarrollar y emplear Swlpe to vlew next page emplear métodos inteligentes en las investigaciones que guardan relación con la reconstrucción deliberada de la experiencia.

Una de las principales características de la lógica la encontramos en el origen del pensar. El pensar comienza con los conflictos concretos de la experiencia que dan lugar a nuestra confusión. Los hombres no piensan si no tienen dificultades que solucionar Pero las soluciones que resuelven el conflicto no son las que nos enseña la psicología moderna, ya que sólo se quitan de encima la sensación de los problemas, sino que son aquellas que se enfrentan con el hecho real y dan solución al mismo .

Pero en este caso nos centraremos solo a estudiar la lógica en el ámbito matemático: Si has intentado alguna vez resumir en una frase (o incluso en un par de docenas de páginas) que es la matemática, o la aritmética, o el álgebra, etc. se habrá dado cuenta sin duda de lo inútil que es retender condensar tanto en pocas palabras, pues nadie que lea cualquier intento de «definición» puede con ella formarse una idea fiel y representativa del contenido y el alcance de cualquiera de dichas disciplinas. Lo mismo sucede, como no podía ser de otro modo, si uno intenta «definir» la lógica matemática.

A pesar de lo que acabamos de decir sobre la imposibilidad de explicar lo que es la lóglca en pocas palabras, será útil partir de esta aproximación: La lógica es la ciencia que estudia el razonamiento, donde «razonar»‘ consiste en obtener afirmaciones (llamadas conclusiones) a partir de otras afirmaciones (llamadas premisas) on los criterios adecuados para que podamos tener la garantía de que si las premisas son verdaderas, ent adecuados para que podamos tener la garantía de que si las premisas son verdaderas, entonces las conclusiones obtenidas también tienen que serlo necesariamente. or ejemplo, Luego Todos los españoles son europeos, Cervantes era español, Cem•antes era europeo. Es un razonamiento que extrae la conclusión «Cervantes era europeo» a partir de las dos premisas precedentes y, en efecto, es un razonamiento en el sentido que acabamos de indicar. En cambio, algo muy parecido, como pueda ser; Shakespeare no era español, Shakespeare no era europeo. No es un razonamiento valido, pues las premisas son verdaderas y, pese a ello, la conclusión es falsa.

Aquí es crucial entender que, para que un razonamiento sea válido, (si parte de premisas verdaderas) no basta con que sus conclusiones sean verdaderas, sino que tienen que ser necesariamente verdaderas. Por ejemplo, el razonamiento siguiente no es válido: Todos los perros tienen cuatro patas, una gallina no es un perro, Una gallina no tiene cuatro patas. Es cierto que las gallinas no tienen cuatro patas, pero esto no podemos asegurarlo por el mero hecho de que las premisas sean verdaderas.

Si las gallinas tuvieran cuatro patas, las premisas seguir[an siendo ciertas, pero la no depende realmente de tuvieran cuatro patas, las premisas seguirían siendo ciertas, pero la no depende realmente de si las afirmaciones que involucra son verdaderas o falsas, pues solo requiere que en el supuesto (que puede darse o no) de que sus premisas fueran verdaderas, su conclusión también lo serla (sin perjuicio de que tanto las premisas como la conclusión pudieran ser falsas).

Y si la validez o invalidez de un razonamiento no depende de si las afirmaciones que involucra son verdaderas o falsas, ¿de qué depende entonces? La respuesta es que de la forma de las afirmaciones involucradas. Para entender esto consideremos la tabla siguiente: La casllla 1) contiene un ejemplo de forma de razonamiento valida. Quiere decir que cualquier razonamiento que tenga esa forma, independientemente de que palabras pongamos en lugar de A, 30 C, será válido. De los tres ejemplos de razonamientos (validos o no) que hemos visto más arriba, el primero y el cuarto tienen esta forma.

En cambio, el segundo y el tercero tienen la forma de la casilla 2), por lo que, según hemos podido comprobar, 2) no es una forma valida de razonamiento. El hecho de que las premisas de 2) sean iertas no nos ofrece garantía alguna de que su concluslón vaya a serlo también. Puede ser que SI (como en el caso de las gallinas) o puede ser que no (como en el caso de Shakespeare). por otra parte, la casilla 3) contiene una forma de razonamiento que, superficialmente, se parece más a la de 2) que a la de 1) y, sin embargo, es una forma valida de razonamiento al igual que 1) y al contrario que 2).

Llegados a este punto podemos destacar un hecho fundamental: no corresponde a la lógica «definir» lo q no corresponde a la lógica «definir’ lo que es un razonamiento valido. Las formas validas de razonamiento son las que son, y no stamos en posición de decldir cuales queremos dar por buenas y cuáles no. El propósito de la lógica es más bien «capturar el razonamiento, dar criterios precisos que nos permitan distinguir con claridad los razonamientos propiamente dichos de las falacias que aparentan serlo. La palabra técnica en lugar de ese «capturar» que hemos empleado es «formalizar.

Formalizar un razonamiento es expresarlo de tal modo que se pueda justificar que es válido atendiendo únicamente a la forma de las afirmaciones involucradas, sin necesidad de considerar para nada, no ya si estas son verdaderas o falsas, sino siquiera su posible significado. La idea de que esto es posible, es decir, que es posible distinguir los razonamientos de las falacias mediante criterios puramente formales, sin analizar el significado de las afirmaciones involucradas, se remonta a Aristóteles, aunque el solo estudio una clase muy particular de razonamientos, los llamados silogismos.

Sin embargo, esta idea recibió un nuevo impulso siglos más tarde, por parte de Leibniz y más tarde de Boole, De Morgan, Frege, etc. , matemáticos que, cada cual a su manera, trataron de crear un «calculo deductivo», es decir, un procedimiento para generar y verificar razonamientos e forma «mecánica», similar a los cálculos mecánicos que hace el algebrista cuando aplica sistemáticamente las reglas de la aritmética.

Es muy probable que la posibilidad de «mecanizar el razonamiento lógico no hubiera pasado de probable que la posibilidad de «mecanizar» el razonamiento lógico no hubiera pasado de ser una parte marginal y anecdótica dentro de lo que son las matemáticas (como, en efecto, sucedió durante mucho tiempo) de no haber sido porque en un momento dado los matemáticos se encontraron con que necesitaban el auxilio de la lógica por una cuestión de «vida o muerte» PARADOJAS EN LA TEORIA DE CONJUNTOS

A lo largo de la historia, los matematicos han trabajado en numerosas ocasiones con conceptos que no sabían precisar con exactitud: los griegos hablaban de números «irracionales» y al mismo tiempo se cuestionaban si existían realmente, los algebristas renacentistas hablaban de números «imaginarios» con más fe que razón, los analistas de los siglos XVII y XVIII hablaban de cantidades «infinitesimales» sin ser capaces de explicar muy bien si eran cero o no eran cero, etc.

A lo largo del siglo XIX se inició un proceso de fundamentación de la matemática en la que estos conceptos «confusos» fueron clarificandose paulatinamente, todo parecía ir bien hasta que Georg Cantor desarrollo la teor[a de conjuntos, es decir, una teoría matemática sobre la noción general de «conjunto», en el sentido de «colección de objetos».

Pronto se vio que la teoría de conjuntos de Cantor era «el paraíso de las matemáticas», en el sentido de que todos los conceptos matemáticos podían definirse con precisión a partir de los conceptos y resultados de la teoría de conjuntos, pero el propio Cantor descubrió que el «paraíso» que estaba creando cobijaba a una serpiente muy venenosa: la contradicción. En efecto, a partir de los resultados de la teor[a de Cantor, no solo a contradicción.

En efecto, a partir de los resultados de la teor(a de Cantor, no solo podían deducirse los fundamentos para todas las teorías matemáticas restantes, sino que también se deducían contradicciones sin que se detectara supuesto alguno contradictorio en la teoría en cuestión. La paradoja en estado puro a que daba lugar la teoría cantoriana fue destilada por Bertrand Russell, y su planteamiento es el siguiente: En la teoría de Cantor se consideran todos los conjuntos posibles, es decir, todas las colecciones de objetos.

Si A es un conjunto cualquiera y a es un objeto cualquiera, puede suceder que a sea uno de los bjetos que forman parte del conjunto A, o no. En el primer caso se escribe a EA (y se lee «a pertenece a A»), y en el segundo a A. Ahora bien, la teoría admite que los elementos de un conjunto puedan ser otros conjuntos. por ejemplo, si N es el conjunto de los números naturales, en la teoría de Cantor se puede considerar también el conjunto PN formado por todos los subconjuntos de N, es decir, por todos los conjuntos cuyos elementos son números naturales.

Así, por ejemplo, uno de los a PN puede ser el conjunto A de los números pares, o el conjunto P de los números primos, etc. Tenemos, pues, que A e PN, donde los os términos de la afirmaclon son conjuntos. En principio, cada propiedad bien definida en la teoría puede usarse para definir el conjunto de todos los objetos que tienen la propiedad en cuestión: igual que acabamos de hablar del conjunto de todos los números naturales, el conjunto de los números primos, el conjunto de los subconjuntos de N, etc. podemos hablar igualmente del conjunto V de todos los primos, el conjunto de los subconjuntos de N, etc. , podemos hablar igualmente del conjunto V de todos los conjuntos, y este conjunto tiene la peculiaridad de que V eV, pues, ciertamente, l conjunto de todos los conjuntos es un conjunto. Así pues, podemos distinguir entre conjuntos que se pertenecen a sí mismos (como V) y otros que no lo hacen (como N, pues el conjunto de todos los números naturales no es un número natural).

Por lo tanto, podemos hablar del conjunto R formado por todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Con la notación conjuntista: R= {x IX x El problema surge cuando nos preguntamos si el conjunto R se pertenece o no as • I rmsmo. Si fuera RER. entonces por definicion de R debería ser R R, con lo que tenemos una contradicción, pero si fuera R R, precisamente porno ertenecerse a SI mismo, cumple el requisito para que RER, y en cualquier caso tenemos una contradicción.

Quizá el lector piense que esto no es grave. Al fin y al cabo, si decimos «esta oración es falsa» nos estamos contradiciendo, y el que podamos caer en esa contradicción no impide que podamos decir «es falso que las gallinas tienen cuatro patas» sin que haya contradicción alguna en ello. En otras palabras: la forma más simple de resolver la llamada «paradoja de Russell» es sencillamente Olvidarse de ella y hablar únicamente de cosas sensatas.

El problema de esta «solución» es que, como ya hemos indicado, a paradoja De Russell surge al destilar, al eliminar el contenido propiamente matemático, De las contradicciones que de hecho surgían en la teoría de Cantor, cuyo planteamiento contradicciones que de hecho surgían en la teoría de Cantor, cuyo planteamiento Y contexto no tenía nada de «insensato», por lo menos a simple vista. Por ejemplo, aunque no estamos en condiciones de entrar ahora en detalles, Cantor definió unos «números infinitos» llamados ordinales que sirven para «contar conjuntos infinitos, igual que los números naturales permite contar Conjuntos finitos.

De hecho, los números naturales son los rimeros ordinales, pero la sucesión de los ordinales se prolonga mucho más allá: o, 1,2, En la teoría de Cantor tenia perfecto sentido contar todos los números naturales, Y el resultado era el ordinal w, pero igualmente tenía sentido considerar el Ordinal que resulta de contar todos los ordinales. Ahora bien, por una parte, Podía probarse que todo ordinal tiene un siguiente, luego podríamos considerar El ordinal + 1 > n, pero por otro lado, siendo n el ordinal del conjunto de Todos los ordinales y siendo Q + 1 uno de dichos ordinales, se podía probar que Q + 1 n.

Esta paradoja se conoce como «antinomia de Burali- Forti», y no Es un juego de palabras (como podría pensarse que lo es «el conjunto de todos Los conjuntos que no se pertenecen a si rmsmos»), sino que pone en cuestión si Realmente tiene sentido toda la teoría de ordinales cantoriana, la cual está «perfectamente» Justificada si admitimos la razonar sobre conjuntos Arbitrarios. simple que nos sirva de referencia.

En lugar de preguntarnos hasta qué punto podemos decir que sabemos de qué hablamos cuando hablamos de conjuntos, vamos a considerar la cuestión cambiando «conjunto» por «numero natural». Es seguro usted sabe lo que son los números naturales: o, 1, 2, 3,4, Donde los puntos suspensivos tienen aquí un significado muy concreto que abreviamos por no aburrir con lo que ya sabe: son el criterio que permite prolongar indefinidamente la sucesión cuyos primeros términos hemos presentado.

Debe saber que el término siguiente es el 6, y puede escribir los mil términos siguientes si se lo propone, y es consciente de que, en teoría, puede prolongarla sin vacilar tanto como se lo proponga. Cualquier afirmacion sobre números naturales (que no involucre conceptos «dudosos» ajenos a ellos) tiene que ser verdadera o falsa, y lo más importante es que podemos afirmar que esto s así independientemente de que tengamos medios o no para comprobar cuál es el caso. Para entender esto último consideremos el ejemplo de la conjetura de GoldBach. Todo numero par mayor que 2 es suma de dos números primos. » Actualmente no se sabe si esto es cierto o no, pero SI que sabemos lo que significa que sea cierto: podemos constatar que 4- 2+2, = 3+5, 10 5+5, 12 = 5+7, 7+7 Y la conjetura de Goldbach será cierta si esta lista de comprobaciones puede prolongarse indefinidamente, sin que en ningún momento podamos llegar a un número par para el que no exista una descomposición en suma de dos primos. La conjetura de Goldbach