Tablas de verdad

SISTEMA DECIMAL Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en Espana por los arabes. Su base es 10. Emplea 10 caracteres o digitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada simbolo depende de su posicion dentro de la cantidad a la que pertenece. Veamoslo con un ejemplo: [pic] [pic] SISTEMA BINARIO Es el sistema digital por excelencia, aunque no el unico, debido a su sencillez. Su base es 2 Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (digitos binarios).

Asi, podemos decir que la cantidad 10011 esta formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este numero teniendo en cuenta que el resultado de la expresion polinomica dara su equivalente en el sistema decimal: [pic] SISTEMA OCTAL Posee ocho simbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8. Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversion al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23  . Asi, para convertir un numero de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en

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el apartado 1. . Conversiones se  estudiara esta conversion. SISTEMA HEXADECIMAL. Esta compuesto por 16 simbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas mas utilizados en electronica, ya que ademas de simplificar la escritura de los numeros binarios, todos los numeros del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversion de un numero hexadecimal a uno binario es muy sencillo al igual que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1. 5. CONVERSIONES CONVERSION ENTRE BINARIO Y DECIMAL

Si la conversion es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus digitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos: 1011112 = 1. 25+0. 24+1. 23+1. 22+1. 21+1. 20 = 4510 101012= 1. 24+0. 23+1. 22+0. 21+1. 20 = 2110 Si la conversion es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada division (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leida desde el ultimo cociente al primer resto.

Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema tradicional de division con el editor: |N? Decimal | |Base | |Cociente | Resto | | | |107 | |2 | |53 | 1 | | | |53 | |2 | |26 | |1 | | |26 | |2 | |13 | |0 | | |13 | |2 | |6 | |1 | | |6 | |2 | |3 | |0 | | |3 | |2 | |1 | |1 | | | | |10710= 11010112 | | | |Cuando tengamos un numero con decimales seguiremos el |Fraccion decimal | |siguiente procedimiento: multiplicaremos por 2 la parte |Multiplicado por: | decimal y se toma como digito binario su parte entera. El |Resultado | |proceso se repite con la fraccion decimal resultante del paso |Digito binario | |anterior, hasta obtener una fraccion decimal nula, o bien | | |hasta obtener el numero de cifras binarias que se desee. |0,645 | |Ejemplo: 107,645. Como anteriormente convertimos 107 a |2 | binario, el resultado de la conversion quedaria asi: |1,290 | |1101011, 101001012 |1 | | | | | |0,290 | | |2 | |0,580 | | |0 | | | | | |0,580 | | |2 | |1,160 | | |1 | | | | | |0. 160 | | |2 | |0,320 | | |0 | | | | | |0,320 | | |2 | |0. 64 | | |0 | | | | | |0. 64 | | |2 | |1. 28 | | |1 | | | | | |0. 28 | | |2 | |0. 56 | | |0 | | | | | |0. 56 | | |2 | |1. 12 | | |1 | | | | CONVERSION ENTRE OCTAL Y BINARIO Si la conversion es de octal a binario cada cifra se sustituira por su equivalente binario. Tendremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversion de modo mas rapido: Caracter octal |Ejemplo: 55,358 | |N? binario |Resultado: 101 101, 011 1012 | | | | |0 | | |1 | | 2 | | |3 | | |4 | | |5 | | |6 | | 7 | | |000 | | |001 | | |010 | | |011 | | 100 | | |101 | | |110 | | |111 | | | | |

Si la conversion es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior conversion, agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la coma decimal. Si no se consiguen todos los grupos de tres se anadiran, los ceros que sean necesarios al ultimo grupo, veamoslo con un ejemplo: |Ejemplo: 11011111,111112 |Agrupacion | |Resultado: 237,768 |Equivalente octal | Observa como ha sido necesario anadir un cero en la ultima | | |agrupacion de la parte entera y otro en la parte fraccionaria |010 | |para completar los grupos de 3 digitos. |2 | | | | | |011 | |3 | | | | | |111 | | |7 | | | | |, | | |, | | | | | |111 | | |7 | | | | |110 | | |6 | | | | CONVERSION ENTRE OCTAL Y DECIMAL Si la conversion es de octal a decimal se procedera como observas en el ejemplo: 7408= 7. 82+4. 1+4. 80 = 48410 Si la conversion es de decimal a octal se procedera de modo similar a la conversion de decimal a binario, pero dividiendo entre 8. Comprueba los resultados en el siguiente ejemplo: 42610 = 6528 CONVERSION ENTRE BINARIO Y HEXADECIMAL La conversion entre binario y hexadecimal es igual al de la conversion octal y binario, pero teniendo en cuenta los caracteres hexadecimales, ya que se tienen que agrupar de 4 en 4. La conversion de binario a hexadecimal se realiza segun el ejemplo siguiente: |Sistema binario |Ejemplo: 1011111,1100012 | Sistema Hexadecimal |Agrupando obtenemos el siguiente resultado: | | |0101 1111, 1100 01002 | |0000 |Sustituyendo segun la tabla logramos la conversion esperada: | |0 |5F, C416 | | | | 0001 | | |1 | | | | | |0010 | | |2 | | | | |0011 | | |3 | | | | | |0100 | | 4 | | | | | |0101 | | |5 | | | | | 0110 | | |6 | | | | | |0111 | | |7 | | | | |1000 | | |8 | | | | | |1001 | | 9 | | | | | |1010 | | |A | | | | | 1011 | | |B | | | | | |1100 | | |C | | | | |1101 | | |D | | | | | |1110 | | E | | | | | |1111 | | |F | | | | |

La conversion de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada caracter por su equivalente en binario, por ejemplo: 69DE16= 0110 1001 1101 11102 OTROS ME TODOS DE CIONVERSION Decimal Binario 164 = 10100100 Proceso:—Division: Cociente: Residuo:— 164 / 2 82 0 82 / 2 41 0 41 / 2 20 1 20 / 2 10 0 10 / 2 5 0 5 / 2 2 1 2 / 2 1 0 1 / 2 0 1 Decimal Octal 8777 = 21111 Proceso:—Division: Cociente: Residuo:— 8777 / 8 1097 1 1097 / 8 137 1 137 / 8 17 1 17 / 8 2 1 2 / 8 0 2 Agrupe de Abajo hacia Arriba:21111——Decimal Octal Decimal Hexadecimal 1523 = 5F3

Proceso:—Division: Cociente: Residuo:— 1523 / 16 95 3 95 / 16 5 15 5 / 16 0 5 Agrupe de Abajo hacia Arriba:5F3——Decimal Hexadecimal EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para pasar de binario a decimal a) 110012 b) 10110110112 2. Para pasar de decimal a binario a) 86910 b) 842610 3. Para pasar de binario a octal a) 1110101012 b) 11011, 012 4. Para pasar de octal a binario a) 20668 b) 142768 5. Para pasar de binario a hexadecimal a) 1100010002       6 b) 100010,1102 6. Para pasar de hexadecimal a binario a) 86BF16 b) 2D5E16 7. Para pasar de octal a decimal a) 1068 b) 7428 8. Para pasar de decimal a octal: ) 23610 b) 5274610 Suma de numeros binarios Para sumar numeros binarios, seguimos las reglas utilizadas para la suma de numeros decimales. La unica diferencia es que, como el sistema binario consta de dos caracteres, la reagrupacion de los numeros es mas corta. Tabla de sumar de numeros binarios [pic] Sean los numeros binarios 00102 y 01102 Primer paso De la misma forma que hacemos cuando sumamos numeros del sistema decimal, esta operacion matematica la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los ultimos digitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

En la tabla de suma de numeros binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0 Segundo paso Se suman los siguientes digitos 1 + 1 = 10 (segun la tabla), se escribe el “0” y se acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posicion de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”. Tercer paso Al haber tomado el “0” de la tercera posicion el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posicion del sumando. Cuarto paso

El valor “1” que toma el digito “0” de la cuarta posicion lo sumamos al digito “0” del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1. El resultado final de la suma de los dos numeros binarios sera: 1 0 0 0. Ejemplo 1: Suma de numeros binarios. Binario     Decimal 10      =      2 1      =      1 11      =      3 Resultado: 112    =    310 Ejemplo 2: Suma de numeros binarios. Binario        Decimal 111      =       7 11      =       3 1010      =      10 Resultado: 10102    =    1010 Ejemplo 3: Suma de numeros binarios. Binario           Decimal 00111      =      39 11101      =      29 1000100      =      68 Resultado: 10001002    =    6810 Resta Binaria Es similar a la decimal, con la diferencia de que se manejan solo 2 digitos, y teniendo en cuenta que al realizar las restas parciales entre dos digitos de identicas posiciones, uno del minuendo y otro del sustraendo, si el segundo excede al primero, se sustraes una unidad del digito de mas a la izquierda en el minuendo (si existe y vale 1), convirtiendose este ultimo en 0 y equivaliendo la unidad extraida a 1*2 en el minuendo de resta parcial que estamos realizando.

Si es 0 el digito siguiente a la izquierda, se busca en los sucesivos. Las tablas de restar son: |Tabla del 0 |Tabla del 1 | |0 – 0 = 0 | 1 – 0 = 1 | |0 – 1 = 1, prestando una de la siguiente columna. |1 – 1 = 0 | Ejercicios: | |1|1|1|1|1|1| | | | | | | | | |-|1|0|1|0|1|0| | |0|1|0|1|0|1| | | | | |0| | | | |1|1|1|1|0|0| |-|1|0|1|0|1|0| | |0|1|0|0|1|0| Resta binaria por Complemento 1.

Si la cantidad de digitos del sustraendo es menor que la del minuendo, se completa el sustraendo con ceros a la izquierda de la parte entera, y a la derecha de la parte decimal (encolumnar por la coma) 2. Se halla el complemento del sustraendo, restando este valor del maximo valor binario con la misma longitud del minuendo 3. Se suma el minuendo al complemento del sustraendo 4. Se elimina el 1 de la izquierda y se suma encolumnado con el ultimo digito de la cifra, sin importar la coma decimal. [pic] Multiplicacion binaria Se realiza similar a la multiplicacion decimal salvo que la suma final de los productos se hace en binario.

Las tablas de multiplicar son: | Tabla del 0 |Tabla del 1 | |0 * 0 = 0     |1 * 0 = 0 | |0 * 1 = 0 |1 * 1 = 1  | Ejercicios: |  | | | |1|1 | | |1|7|4|0|6 | | |6|3|0|5|4 | |1 |0|2|4|6|2 | |1 | | | | |1|1| | |4 |6|1|3|. |5|2|4 | | |2|6|1|. |3|7| | |5 |0|7|5|. |1|1|4 | [pic] Resta en octal. La resta en octal se realiza de la misma forma que la resta decimal, teniendo en cuenta que cuando el minuendo es mayor que el sustraendo se debe pedir un prestamo.

Ejemplo: [pic] Resta en octal por Complemento. 1. Si la cantidad de digitos del sustraendo es menor que la del minuendo, se completa el sustraendo con ceros a la izquierda de la parte entera, y a la derecha de la parte decimal (encolumnar por la coma) 2. Se halla el complemento del sustraendo, restando este valor del maximo valor octal con la misma longitud del minuendo 3. Se suma el minuendo al complemento del sustraendo 4. Se elimina el 1 de la izquierda y se suma encolumnado con el ultimo digito de la cifra, sin importar la coma decimal. [pic] Multiplicacion en octal.

Para realizar las multiplicaciones en el sistema octal se deben considerar las tablas de multiplicar en octal. |* |0|1|2|3|4|5| | | | | |x|1|6| | |5|1|3|6|5|0| |+ |6|7|2|3|4| | |1 |4|0|6|2|1|0| Division en octal. Se procede exactamente igual a base dos. ? Se toma el mismo numero de cifras en el dividendo que las que tiene el divisor, si no cabe ninguna vez se toma una mas. ? Se establece cuanto falta para alcanzar el numero y se baja la siguiente cifra, se repite la interaccion, tanto como se requiera. ? Para restar se aplica el complemento a la base. Los decimales se manejan como en la base diez. Ejemplo: |4030 |7 |(7)8 x (4) 8 = (34) 8 |34 |43 |Sustraendo | |44 |450 |(7)8 x (5) 8 = (43) 8 |43 |34 |Complemento a 7 | |1043 | | |1 |1 | | |35 | | |44 |35 |Resultado en c a 8 | 1000 | | | | | | ALGEBRA EN SISTEMA HEXADECIMAL. Tabla de numeros en sistema hexadecimal [pic] Suma en sistema hexadecimal. Se debe considerar para efectuar la suma la siguiente tabla: [pic] Ejemplo: [pic] Resta en hexadecimal [pic] Resta en hexadecimal por Complemento 1. Si la cantidad de digitos del sustraendo es menor que la del minuendo, se completa el sustraendo con ceros a la izquierda de la parte entera, y a la derecha de la parte decimal (encolumnar por la coma) 2.

Se halla el complemento del sustraendo, restando este valor del maximo valor hexadecimal con la misma longitud del minuendo 3. Se suma el minuendo al complemento del sustraendo 4. Se elimina el 1 de la izquierda y se suma encolumnado con el ultimo digito de la cifra, sin importar la coma decimal. [pic] Multiplicacion en Hexadecimal. Para la realizacion de la multiplicacion en hexadecimal es necesario considerar las tablas de multiplicar en el sistema hexadecimal. [pic] [pic] Division en hexadecimal. La division se efectua del mismo modo que en el sistema decimal y se realiza directamente en la misma base del sistema hexadecimal.

Sin embargo, tambien se puede obtener previamente la conversion en binario y proceder a realizarla en binario; y despues el resultado transformarlo de nuevo al sistema numerico original. Ejemplo: 27FCA16 / 3E16 2 |7 |F |C |A |3 |E | |Divisor | |2 |6 |C | | |A |5 |1 |Cociente | | |1 |3 |C | | | | | | | |1 |3 |6 | | | | | | | | | |6 |A | | | | | | | | |3 |E | | | | | | | | |2 |C | | | |Residuo | | A 5 1 [pic] 2 6 C 1 3 C 1 3 6 6 A 3 E 2 C 3E x A = 26C 27F-26C = _ 15 15 15 + 2 7 F 6 12(C) 13(D) 9 4 13(D) 9 3 1 0 1 3 (Se elimina el 1) + 1 13(D) 9 4 3E x 5 = 136 13C-136 = _ 15 15 15 + 1 3 C 1 3 6 14(E) 12(C) A 14(E) 12(C) 9 1 0 0 6 (Se elimina el 1) + 1 14(E) 12(C) A 1 3E x 1 = 3E 6A-3E = _ 15 15 + 6 A 3 E 12(C) 2 12(C) 1 1 2 12(C) (Se elimina el 1) + 1 12(C) 2 [pic]