Sucesiones y series

Sucesiones: En el campo de las matematicas una sucesion es definida como una funcion cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque esta sea una funcion ,usualmente es representada con una notacion de subindices en vez de una notacion funcional. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, ….. n, ……….. a1, a2, a3, a4, a5, an, ……….. 1 se aplica en a1, 2 en a2, etc. Llamamos a an el n-esimo termino de la sucesion y esta s denotada por {an}. Dominio general de una Sucesion: Viene dado por el siguiente metodo: 1) Para la sucesion {an}= {3+(-1)n}, los cuatro terminos primeros son: + (-1)1, 3 + (-1)2 , 3 + (-1)3, 3 + (-1)4, ……. R= 2, 4, 2, 4, …… 2) Para la sucesion {bn}= {2n/(1 + n), los cuatro terminos primeros son: 2*1 /(1 + 1), 2*2 /(1 + 2), 2. 3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),….. R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,….. Definicion del Limite de una Sucesion: Se define de la siguiente manera; Si para ? > 0 existe M >0 tal que [an – L] < ? siempre que n > M ,entonces decimos que el limite de la sucesion {an} es L y

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escribimos : Limn-?? an= L Las sucesiones que tienen limite (finito) se llaman covergentes y las demas divergentes. Limite de una Sucesion:

Sea f funcion de una variable real tal que : Limx-oo f (x) = L Si {an}es una sucesion tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces : Limn-oo an = L Propiedades de los Limites de las sucesiones: Si: Limn-oo an= L y Limn-oo bn = K Las siguientes propiedades son validas: 1) Limn-oo(an+- bn) = L +- K 2) Lim n-oo can = cL, c es cualquier numero real. 3) Limn-oo (an bn) = LK 4) Limn-oo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0 Determinando la Convergencia o Divergencia de una sucesion:

Determinar la convergencia en las siguientes sucesiones: 1) an = 3 + (-1)n 2) bn = n / 1-2n 1) an = 3 + (-1)n solucion: como an = 3 + (-1)n tiene terminos 2, 4, 2, 4,….. que oscilan entre 2 y 4 , no hay limite y la sucesion diverge. 2) Para {bn}, podemos dividir por n numerador el denominador para obtener: Limn-oo n /(1- 2n) = Limn-oo [1/(1/oo) – 2] = -1/2 ,por lo tanto la sucesion converge a –1/2. Sucesiones Monotonas: Una sucesion es monotona si sus terminos son no decrecientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …….. si sus terminos son no crecientes: 1, 4, 3, 8, 5, ……….. Determinando si una sucesion es monotona,se toman las siguientes sucesiones como ejemplos: 1) {an}= {3+(-1)n} Esta sucesion alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es monotona. Y 2) {bn}= {2n/(1 + n) Monotona , por que cada termino es mayor que su predecesor. Sucesiones Acotadas: Una sucesion {an} es acotada si existe un numero real positivo M tal que [an] sea menor o igual que M para todo n. Llamamos a M una cota superior de la sucesion por ejemplo las tres sucesiones siguientes son acotadas debido a : [3+(-1)n] es