Sucecciones y series

Sucecciones y series gy OaandreaCastro ,qexaúpR 02, 2010 8 pagos SUCESIONES Y SERIES SUCESIÓN. Una sucesión es una lista infinita de términos que siguen una regla. Presentación: Sucesión [picl [pic]: Términos de la sucesión. [pic]: Término general de la sucesión. [pic]: Término anterior a [pic]. [pic]: Término siguiente a ic siendo ic PACE 1 org Ejemplo de sucesión; to View nut*ge ¿Cuál regla se aplica : [PiC] Respuesta: La regla que se aplica es que a cada número entero positivo se le asigna su inverso.

Definición: Una sucesión [pic] es una función cuyo dominio es el conjunto e los números enteros positivos, a los que denotaremos [pic], y su rango es el conjunto R de los números reales. Los valores funcionales [picl son llamados términos de la misma y [picles el término general. Si por utilidad la sucesión se define así: [pic]; es decir que se escribe desde [pic], entonces la definición es la siguiente: (Propiedad telescópica) En consecuencia: Sumatorias notables: I [PiC] I [pic] [pic] Cambio de variable en las sumatorias. Sea [pic] con [pic], una sucesión de números enteros positivos tal que: Sea [pic], una función que define una correspondencia biunívoca tal que: Se define la correspondencia entre [pic]

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y [picl de modo que: SUCESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS. – SUCESIÓN ARITMÉTICA (SA). – Una sucesión: [pic] se llama sucesión o progresión aritmética si existe una constante d, lla cia comun, tal que [picl ó [pic] para cualquier [pic]. xtender para un término cualquiera de una SA de la siguiente manera: Sean [pic]y [pic] términos de una SA tal que [pic] ; entonces se puede obtener [pic] a partir de [pic], siempre que se conozca a d, mediante la siguiente expresión: SERIES ARITMÉTICAS FINITAS. – Si [pic]es una sucesión o progresión aritmética, entonces [pic] es na serie antmética. Consideremos que la sucesión [pic] es una SA.

Entonces la podemos escribir de la siguiente manera: Procedamos ahora a formar la serie de dos formas diferentes, la primera comenzando por el primer término y la segunda por el último: Si sumamos A y B, nos queda: [PiC] De lo que resulta: Despejando a [pic]: Pero como [pic], entonces: [picl 31_1f8 Expresión que podemos extender para un término cualquiera de una SG de la siguiente manera: Sean [picly [picl términos de una SG tal que [picl entonces se puede obtener [pic] a partir de [pic], siempre que se conozca a r, SERIES GEOMÉTRICAS FINITAS. –

La suma de los términos de una sucesión geométrica se llama serie geométrica. SERIE GEOMÉTRICA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA. Si [pic]es una sucesión o progresión geométrica, entonces [pic] es una serie geométrica. Consideremos que la sucesión [pic] es una SG. Entonces la podemos escribir de la siguiente manera: Procedamos ahora a formar la serie geométrica: A esta expresión que hemos llamado (A), multipliquémosla por [pic] para formar una segunda expresión que llamaremos (B): Si sumamos (A) y (B), nos queda: [pic] Al despejar [pic]resulta: Fórmula que nos permite una SG. de los primeros n de nterviene n. Utilicemos valores para n según el siguiente conjunto: n = {1, 2, Es evidente que a medida que n toma valores cada vez más grande, el término [pic] se hace cada vez más pequeño. Es decir: Si [pic], entonces [pic] Esto permite concluir que cuando se quiere calcular el valor de la serie de una SG infinita decreciente, se puede hacer la siguiente consideración: Preguntémonos ahora: ¿Qué sucede si la SG es infinita creciente?

Tomemos el mismo ejemplo pero con r = 2: En este caso, el segundo término nunca se anula y a medida que aumenta el valor de n, tiende a hacerse infinitamente más pequeño. Esto hace imposible calcular un valor para la serie de esta sucesión. Una sucesión geométrica infinita creciente no tiene serie INDUCCION MATEMATICA. – Definiciones. – Inducción: Generalización a partir de casos particulares. Inducción Matematica: Generalización a partir de casos particulares utilizando el razonamiento matemático.

Ejemplo: Sumar los primer mpares consecutivos. 136 ‘Suma de n In2 La última columna corresponde a una generalización a partir de casos particulares: «Para obtener la suma de los primeros números impares consecutivos, elevamos al cuadrado la cantidad de ellos que hemos tomado para sumar». En este caso s una inducción que se cumple por simple inspección. pero si queremos llegar a la misma generalización utilizando inducción matemática, nos vemos obligado a utilizar el razonamiento matemático.

Consideremos el ejemplo anterior: Ejemplo: Sumar los primeros números impares consecutivos. Razonamiento matemático: Expresión algebraica que representa a los numeros impares: [pic] Cantidad de primeros números impares consecutivos a sumar: n Restricción de n: [pic] proposlclón: [pic] Realización de sumas: Secuencia Suma de 1 ISuma de 2 ISuma de 3 ISuma de 4 ‘Suma de 5 I Operación: Resultado/ Característica Común 2. 1-1-1-12 (2. -1)+ (2. 2-1 (2. 1-1)+ (2. 2-1)+ (2. 1-1)+ 6=42 (2. 4-1)+ ISuma de 6 (2. 1-1)+ (2. 2-1)+ (2. 3-1 (2. 4-1)+ (2. -1)+ (2. 6+1 I Suma de n (2. 2-1) (2. 3 1) (2. 4-1)+ (2. 5-1)+ (2. 6+1 (2. n-l – n2 Al utilizar un razonamiento matemático, entonces se puede realizar la generalización: Es verdad que [pic] Conjetura e Inducción Matemática. – Está claro que una proposición se generaliza cuando se demuestra que es verdadera mediante inducción matemática, pero mientras no se demuestra su certeza (falsa o verdadera) es una conjetura. Es decir, la conjetura es la presentación de la proposición a la que se debe comprobar si es posible su eneralización.

Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: [pic] Intentamos comprobarla por simple inspección: I Valores de n condición: 12 13 14 loperación / Resultado 112-1+41 22-2+41 132-3+41 – -9-3+41 -47 | 42-4+41-1 I Cumple otros valores: Operación / Resultado Valores de n Cumple condlción: 140 141 1402-40441=1 600-40+41=1601 No Con el valor n 41 no cumple porque el resultado no es primo (tiene tres divisores: 1, 41 y 1781 Entonces la proposición es falsa y no se puede generalizar. Principio de Inducción Matemática. – Para analizar la inducción matemática se establece como axioma na propiedad evidente de los números reales.

Axioma: Principio del Buen Orden. Definición: Se define como conjunto inductivo a todo conjunto de números enteros positivos cerrado para la adición de 1; es decir si k está en ese conjunto, k +1 también lo está. Teorema: Principio de Inducción Matemática. Este teorema puede ser demostrado por contradicción. Veamos: Consideremos los conjuntos S y G. – S contiene a p pero no contiene a todos los enteros mayores que p. – G contiene a todos los enteros mayores que p. – Por el principio de buen o iene un elemento mínimo 81_1f8 [pic] que no es iguala c]por Hipótesis 1.