Sadais

ángulos . montaje . Construcción C3. 3 DEF Conclusiones 17 Proceso de 18 16 0. 1 C3. 2 2 OF 16 C3. 1 C3. 2 C3. 3 19 Bibliografía 9 Anexos 20 2 A. INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES CÚPULAS GEODÉSICAS: ¿Qué son? Una cúpula geodésica es una estructura formada por triángulos que componen una superficie inscrita en una semiesfera, hoy en día las podemos observar en edificios y construcciones modernas como el planetario del museo de ciencias naturales CosmoCaixa en Alcobendas, cerca de Madrid o la gran Cúpula, o mejor dicho, esfera geodésica de Buckminister Fuller.

Lo primero que hay que saber es de dónde vienen, de donde hay que partir para construir una cúpula geodésica, la respuesta a esta pregunta es sencilla, las cúpulas geodésicas se construyen a artir de los cinco poliedros regulares, que como sabemos son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Tetraedro cada una de esas caras hacia la esfera definida por los vértices iniciales del poliedro regular tomando siempre como punto de partida del rayo proyectante, el centro de esa esfera.

Lo ilustra bien este modelo: Como esta explicación puede resultar un tanto compleja de visuallzar espacialmente, lo podemos resumir muy toscamente en «inflar el poliedro regular». Las cúpulas geodésicas se pueden clasificar de una manera muy sencilla, primero, por el poliedro e origen, (cúpula geodésica tetraédrica, cúbica, etc. ) Y para el apellido dejamos el orden que lo miden las n divisiones de la arista principal. geodésica tetraédrica de orden 4 geodésica tetraédrica de orden 9 Dodecaedro geodésica dodecaédrica de orden 4 geodésica dodecaédrica de orden 9 B.

OBJETIVOS NUESTRA CÚPULA ¿cuál c uestro objetivo principal icosaedro triangulamos sólo 1/20 (5%) de toda su superficie, pero los triángulos que se obtienen son más uniformes. Si elegimos una cara del tetraedro, la superficie triangulada será de 1/4 (25%) con lo que la cúpula resultante dará más impresión de sfericidad, como inconveniente tendremos que los tamaños de los triángulos serán muy distintos entre sí. 4 Esfera icosaédrica de orden 9 Esfera tetraédrica de orden 9 El número de triángulos en los que se divide una cara depende del número de subdivisiones que tiene su lado (orden de la esfera geodésica).

Para orden n el número de triángulos correspondientes a una cara se puede calcular del siguiente modo: 1 [123 135 1+3+5+.. + 2n-1— 1 +2n—1 •n=n22 2n-1 s OF Nos interesa que el núme ngulos sea múltiplo de 3 cada punto del entramado de la cara ABC sobre la esfera circunscrita al tetraedro obteniendo así los puntos que enotaremos Pij. Los puntos A, By C ya están sobre la esfera y por lo tanto permanecerán en su posición mediante esta proyección.

Por último calcularemos las distancias entre los puntos Pij correspondientes al entramado inicial. Al principio pensamos utilizar directamente la fórmula de la distancia entre dos puntos, pero más tarde pensamos que la figura final quedaría más «esférica» si construíamos los arcos de circunferencia máxima que pasan por cada dos puntos. Esta última decisión, a parte de complicar la fórmula de la nueva «distancia» entre dos puntos, implica la necesidad de medir los ángulos que forman os circunferencias máxmas sobre la esfera en un punto. ara dotar de consistencia a nuestro diseño, a construir en madera de contrachapado, la fabricaremos doble, uniendo una de radio menor con una de radio mayor con listones, pero esto es una cuestión más bien de ingeniería y esto es un trabajo matemático así que en lo que nos vamos a centrar a continuación es en el desarrollo de los cálculos teóricos que harán posible la construcción de nuestra cúpula geodésica. El archivo CUPULA GEODESICA. ppt es una presentación en POWER POINT donde se describe el proceso que pretendemos desarrollar. 6 c. Cl.

RESULTADOS FÓRMULAS 6 OF VÉRTICES DE UN TETRAED Sea L la arista del tetraedro (regular). Calculamos primero, en función de la distancia x. x 30 A cos 300 L2X L,’23/2 c Ahora calculamos la altura del tetraedro H = ED. para ello consideramos el triángulo rectángulo CED y aplicamos el teorema de Pitágoras al b2 — a2 b3 9 -as n un l„nn C] c —al c2—a2c3 Los vectores u y v junto con el punto A constituyen un sistema de referencia afín en el plano ABC, lo que nos permite nombrar los puntos poniendo como subíndices las coordenadas afines de cada punto con respecto a dicho sistema de referencia.

Además ermite obtener una fórmula para las coordenadas espaciales de cada punto según sus coordenadas afines en el plano ABC razonando como sigue: AVij = u + j w Por lo tanto, en coordenadas de R: Vij i. (bl -al -al 3)+j ( c 3-a3)0üVijca1 puntos P y Q de la esfera circunscrita al tetraedro razonaremos del siguiente modo: Sean P y Q con coordenadas con coordenadas respecto de {O, {i, j, k}} P(pl, p2, p3) y Q(ql, q2, q3), es decr que los vectores OP y OQ tienen coordenadas OP(p1, p2, p3) y OQ(q1, q2, q3) respecto de la base {i, j, k} Si llamamos ! l ángulo que forman OP y OQ, podemos calcular su coseno con la órmula cos a = OP•OQ op • IOQI En coordenadas (recordemos que la base {i, j, k} es ortonormal) cos a pl •ql * 2222 pl + p 2 p3-q1 +q2+q322 Por lo tanto a = arccos 2 pl 222+p2+p3•q1 +q2+q322 Por último para calcular el arco PQ bastará multiplicar el ángulo (en radlanes) por el rad10 R. oordenadas de los puntos son P(pl, p2, p3), Q(ql, q2, q3) y S(sl, s2, s3) entonces los vectores desde O tienen las mismas: OP(p1, p2, p3), OQ(q1, q2, q3) y OS(s1, s2, s3). Los vectores nl y n2 tienen coordenadas: OP x OQ n p3 q3 p3 s3 Pl P3ql Pl SI q3 s3 s3 OP x OS Entonces el coseno del ángulo se puede calcular cos B