RECONOCIMIENTO DE LAS CURVAS MECÁNICAS COMO SERIES DE POTENCIA

MARCO TEORICO iAlto! iAlto! le dije, no te tortures más intentando demostrar la identidad de la catenaria con la parábola, pues es completamente falsa… las dos curvas son tan diferentes que una es algebraica y la otra trascendente…

JEAN BERNOULLI Se reconoce que la génesis de la actividad matemática como una disciplina que se fundamenta bajo aspectos de rigor y argumentación deductiva se encuentra en la antigua Grecia, principalmente con el estudio de la geometría donde surgieron muchos resultados importantes y de la cual se originaron los problemas más relevantes en toda la historia de la matemática; roblemas que hunden sus raíces en la actividad de medir, como es el problema de la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo.

Estos problemas desafiaron a los antiguos griegos, en el sentido de que aun teniendo toda una estructura metodológica y filosófica para la solución de problemas, en lo que respecta a la construcclón de figuras, se vieron obligados a buscar alternativas diferentes para la solución de los mismos, soluciones que serían rechazadas por algunos matemáticos de la época por no sujetarse a los principios filosóficos con los que se trabajaba en geometría.

Para los antiguos griegos un objeto matemático

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existía si se podía ir, y construir bajo el paradigma impuesto por Platón el constru cual consistía en usar solamente regla y compás. Es por esto que dichos problemas menci SWipe 10 mencionados anteriormente son tan influyentes en todo el desarrollo de la matemática, dado que se descubrió que es imposible construir las figuras que se proponen solamente utilizando regla y compás, es decir, de alguna manera dichos problemas se resistieron ser solucionados mediante las herramientas euclidianas.

De esta manera, se sugieren y se idean tras estrategias de solución para los problemas, motivadas por los mismos griegos y en los cuales intervienen otros tipos de procedimientos y de objetos los cuales no se encontraban contemplados dentro de los principios para construir figuras; a una de esas estrategias se les denominó mecánicas porque en ella se crean unas curvas que resultan de combinación de movimientos de puntos, rectas y círculos en el plano y por esto no eran aceptadas dentro de la maquinaria para hacer geometría, porque la relación que se daba entre estos movimientos no tenia una determinación exacta.

Es así como se clasifican las soluciones a los problemas geométricos dependiendo del tipo de cun,’a que intervenía en su solución, como lo describe Descartes (1637) en el libro segundo de su Geometr(a titulado Sobre la naturaleza de las curvas Los antiguos estaban familiarizados con el hecho de que los problemas de la geometría se pudieran dividir en tres clases, a saber: planos, sólidos y problemas lineales.

Esto es equivalente a decir que algunos problemas requieren sólo círculos y líneas rectas para su construcción, mientras que otros requieren una sección cónica y todavía otros requieren curvas onstrucción, mientras que otros requieren una seccion cónica y todav(a otros requieren curvas más complejas. Esta distinción resulta ser muy importante porque a partir de allí, Descartes hace preferencia en estudiar, caracterizar y fundamentar las curvas que no proceden de los métodos mecánicos que los antiguos griegos descartan.

Arenaza, V (1998) menciona al respecto sobre el rechazo de estas curvas diciendo que La razón de la exclusión de la geometría de las curvas mecánicas no seria porque, al ser líneas más complejas fuera necesaria mayor precisión de trazado o aparatos más sofisticados que no lcanzaran a dar la exactitud requerida, puesto que la verdadera perfección de la geometría griega se lograba en el pensamiento, esto es, en la claridad del método para llevar a cabo las construcciones.

De esta manera Descartes en su trabajo, admite con su método las curvas que se denominan geométricas las cuales son posible representar por medio de ecuaciones, realizando así lo que se conoce como el puente de lo geométrico (sintético) a lo analítico.

Sin embargo, dado que para las curvas mecánicas no se es posible determinar una correspondencia exacta de los movimientos de los objetos que las generan, entonces Descartes as excluye de la geometría y de su método, puesto que el aparato teórico que tiene no le permite asignarle a este tipo de curvas como la cuadratriz, la cicloide, la espiral de Arquímedes, la concoide de Nicómenes y otras curvas una ecuación algebraica.

Este primer impasse en la historia de la función 31_1f8 otras curvas una ecuación algebraica. Este primer impasse en la historia de la función trigonométrica concerniente al rechazo de las curvas mecánicas por parte de los griegos y Descartes, representa una clara visión de su naturaleza, la cual está arraigada a fenómenos físicos y a concepciones que o se ajustan a la filosofía griega.

Esto puede apreciarse en el mismo Descartes el cual, en La Geometría (1637) introdujo una curva denominada el ovalo que aparec[a frecuentemente en la solución de algunos problemas de óptica, también se puede mencionar la espiral de Galileo que es una curva que aparece como el intento de la solución de un problema físico relativo a la trayectoria de un cuerpo que se mueve alrededor de un centro y que al mismo tiempo cae hacia ese centro con aceleración constante, la «curva de tiempo mínimo» o baquistócrona problema propuesto por Johann

Bernoulli para la cual hay que hallar la curva que indique el tiempo mínimo de la caída de un punto material a lo largo de una trayectoria entre dos puntos, también es de mucha trascendencia la catenaria; curva que tiene sus orígenes en Galileo, el cual pensaba que correspond(a a una parábola y que es una curva que forma un cable perfectamente flexible suspendidos por dos de sus puntos.

Es así como se puede ver la influencia de la matemática griega y de los fenómenos físicos en la concepción de las mecánicas en el periodo anterior de 1 660, pues los problemas que resolvían los matemáticos durante este tiempo y l trabajo de ellos era una continuación d problemas que resolvían los matemáticos durante este tiempo y el trabajo de ellos era una continuación de la tradición de la matemática griega (Grattan-Guiness, 1982).

El problema de la representación de estas curvas mecánicas comienza a ser clarificado con los trabajos de Newton, el cual con su cálculo de fluentes y fluxiones, entiende a los elementos de la geometría analítica como cantidades que varían con el tiempo, por ejemplo, para él, un punto que se mueve a lo largo de una curva aumentaría o disminuiría, es decir fluiría. Y en su obra

De Analysi, se muestra como para él, tiene sentido expresar de una forma mucho más canónica, las fórmulas analíticas de las curvas, las cuales va a representar mediante desarrollos en series de potencia, es decr sumas infinitas de términos que radican en un coeficiente constante por una potencia de una variable determinada. Esta forma de representación es muy relevante, pues como lo afirma Grattan-Guiness (1982, p. 5) «tanto las curvas trascendentes (es decir, las que no admiten una ecuación algebraica) como las curvas algebraicas que tienen una ecuación complicada podrían ser representadas mediante ecuaciones ucho más sencillas (aunque, eso sí, con un número infinito de términos). » esto representa una salida conceptual al rechazo de dichas curvas por parte de Descartes. Es justamente en De Analysis donde Newton obtiene la serie de potencias del seno y el coseno, cuando esto sucede Katz (1987, p. 312) afirma que las funciones trigonométricas entran en el «análisis», Katz (1987, p. 12) afirma que las funciones trigonométricas entran en el «análisis», esto lo consigue, haciendo uso del método de «reversión de series» hallando primero la serie de , considerando el circulo y el ángulo (Fig. 1) obtuvo Fig. I y luego despejando la variable independiente en términos de la variable dependiente, consiguió lo que se conoce como la serie de potencias del seno Esta forma de representar las curvas y en especial las mecánicas va a entenderse en Newton, como la forma más adecuada de efectuar las operaciones de integración y derivación en su cálculo; Klein, M (1972, p. 82) afirma que «Las series de las funciones trascendentes constituían el método disponible más fecundo para manejar dichas funciones en las prmeras etapas del cálculo infinitesimal y representan una parte importante del trabajo de Newton». Ahora, dado que el cálculo infinitesimal estaba siendo elaborado de manera independiente por Newton y Leibniz, cada uno lo desarrolla con una idea y estilo diferente, así en las correspondencias entre Newton-Leibniz, éste último señala que en particular la serie de senos podría ser obtenida de la serie de cosenos, por integración término a término.

Por su parte Katz (1 987, p. 313) asevera Leibniz en (1693) obtiene de su método diferencial la relación infinitesimal entre el arco y su seno en un circulo de radio (Fig. 2), asumiendo como una constante. Leibniz toma la diferencial de esta ecuación para obt staría escribir esta ecuación Leibniz toma la diferencial de esta ecuación para obtener o . Nos gustada escribir esta ecuación como . La ecuación diferencial para . Leibniz de hecho, deriva esta solución por su método de coeficientes indeterminados y lo escribe como una serie de potencias. Fig. Sin embargo, aunque de manera sustancial se introducen las representaciones en series de potencia para las funciones trascendentes (en ellas las trigonométricas) y se usan para el cálculo de cantidades especiales como y , ningún libro de texto hasta 1748 se ocupo con el cálculo de estas funciones, es ecir, en ninguno de la docena de textos escritos de cálculo en Inglaterra y en el continente durante la primera mitad del siglo XVIII hubo un tratamiento de la integral y derivada del seno o coseno, o alguna discusión sobre la penodicidad o propiedades de estas funciones, Katz (1 987, p. 11). Fue hasta que Leonhard Euler inventó este cálculo de la función trigonométrica, en su Introductio in Analysin Infinitorum (1748) en el cual además define el concepto de función «como cualquier expresión analítica formada de modo arbitrario, a partir de una cantidad variable y de constantes» Klein, M (1972, p. 539), además e establecer este concepto como la noción fundamental con la cual trabajar en el análisis.

Para él, se considera funciones las expresones algebraicas en general, e incluso las series infinitas; de hecho es la distinción que hace de las funciones algebraicas, aseveran incluso las series infinitas; de hecho es la distinción que hace de las funciones algebraicas, aseverando que en las funciones trascendentes se repiten un número infinito de veces las operaciones de las funciones algebraicas.

Katz (1987) menciona que es de gran repercusión el trabajo de Euler, puesto que él es quien sistematiza en primera medida el studio de las funciones, hace toda una clasificación e inventario de las funciones trascendentes elementales como el logaritmo, la función exponencial y las funciones trigonométricas.

De las cuales afirma En este texto Euler proporciona un tratamiento completo de lo que se puede denominar el pre-cálculo de las funciones trigonométricas. puesto que él, las define numéricamente, no como las líneas en un círculo, discute sus diversas propiedades, incluyendo las formulas de adición y la periodicidad, además las desarrolla en series de potencia. Katz (1987, p. 317) 81_1f8