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3. 1 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,….. xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,….. pn. , Es decir que solo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variacion dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entendera la probabilidad de que X tome el valor de x.

De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una funcion matematica que asigne una probabilidad a cada realizacion x de la variable aleatoria X. Esta funcion recibe el nombre de funcion de la probabilidad. Ejemplo. – Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, , , no vienen representados por los numeros, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un numero real. Asi al suceso elemental se le hace corresponder el numero “1” y al suceso elemental se le hace corresponder el numero “2”.

La variable aleatoria sera: X =

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(1,2). [pic] Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que unicamente puede adoptar los valores 1 y 2. 3. 2 Funcion de probabilidad Una funcion de probabilidad no es mas que la asignacion a cada valor de la variable de la probabilidad que le corresponde. funcion de probabilidad (tambien denominada funcion de masa de probabilidad) es una funcion que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que esta lo asuma. En concreto, si el espacio muestral, E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1, x2, … xk, la funcion de probabilidad P asociada a X es [pic] donde pi es la probabilidad del suceso X = xi. Por definicion de probabilidad, [pic] 3. 3 Distribucion Binomial. Los numeros fijos n y p se denominan parametros de la distribucion. Los parametros son cantidades numericas que resumen las caracteristicas de una distribucion de probabilidad. Distribucion binomial es una distribucion de probabilidad discreta que mide el numero de exitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del exito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotomico, esto es, solo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina exito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 – p. En la distribucion binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado numero de exitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribucion de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribucion binomial de parametros n y p, se escribe: [pic]

La distribucion binomial es la base del test binomial de significacion estadistica. 3. 4 Distribucion Hipergeometrica la distribucion hipergeometrica es una distribucion discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supongase que se tiene una poblacion de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoria A y N-d a la B. La distribucion hipergeometrica mide la probabilidad de obtener x ([pic]) elementos de la categoria A en una muestra de n elementos de la poblacion original. distribucion hipergeometrica puede deducirse a traves de razonamientos combinatorios y es igual a [pic] onde N es el tamano de poblacion, n es el tamano de la muestra extraida, d es el numero de elementos en la poblacion original que pertenecen a la categoria deseada y x es el numero de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoria. La notacion [pic]hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el numero de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a. El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribucion hipergeometrica es [pic] DISTRIBUCION  HIPERGEOMETRICA. Los experimentos que tienen este tipo de distribucion tienen las siguientes caracteristicas: )      Al realizar un experimento con este tipo de distribucion, se esperan dos tipos de resultados. b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. c)      Cada ensayo o repeticion del experimento no es independiente de los demas. d)      El numero de repeticiones del experimento (n) es constante. Ejemplo: En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ? cual es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos? Solucion: Luego; pic] donde: p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados [pic]muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos [pic]todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ? cual es la probabilidad de que 2 sean defectuosos? Solucion: N = 10 objetos en total a = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra pic] [pic] donde: [pic]                  probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes [pic]                formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos Como se observa en el desarrollo de la solucion del problema, la pretension es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar seria: pic] Ejemplos: 1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas  de narcotico en una botella que contiene 9 pildoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ? Cual es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesion de narcoticos? , b) ? Cual es la probabilidad de que no sea arrestado por posesion de narcoticos?. Solucion: a) N = 9+6 =15 total de tabletas a = 6 tabletas de narcotico n = 3 tabletas seleccionadas = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcotico = variable que nos indica el numero de tabletas de narcotico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas p(viajero sea arrestado por posesion de narcoticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o mas tabletas de narcotico) [pic] [pic] otra forma de resolver; p(el viajero sea arrestado por posesion de narcoticos) = 1 – p(de que entre las tabletas  seleccionadas no haya una sola de narcotico) [pic] [pic] b)      p(no sea arrestado por posesion de narcoticos) [pic] [pic] 2. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan.

Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotaran, ? cual es la probabilidad de que , a) los 4 exploten? , b) al menos 2 no exploten? Solucion: a) N = 10 proyectiles en total a = 7 proyectiles que explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el numero de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara [pic] b)  N = 10 proyectiles en total a = 3 proyectiles que no explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o mas proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) = [pic] . a)? Cual es la probabilidad de que una mesera se rehuse a servir bebidas alcoholicas unicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente? , b) ? Cual es la probabilidad de que como maximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? Solucion: a) N = 9  total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el numero de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2,  3 o 4 identificaciones de personas menores de edad pic] b) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el numero de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2,  3 o 4 identificaciones de personas menores de edad [pic] [pic] 3. 5 Distribucion Geometrica. En teoria de probabilidad y estadistica, la distribucion geometrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes: • la distribucion de probabilidad del numero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un exito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,… o, • la distribucion de probabilidad del numero Y = X ? 1 de fallos antes del primer exito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,… }. Cual de estas es la que uno llama «la» distribucion geometrica, es una cuestion de convencion y conveniencia. Si la probabilidad de exito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtener un exito es [pic] para n = 1, 2, 3,…. Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer exito es [pic] para n = 0,1, 2, 3,…. En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresion geometrica.

El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geometricamente es [pic] y dado que Y = X-1, [pic] 3. 6 Distribucion Multinomial. Es una distribucion de probabilidad conjunta para multiples variables aleatorias ([pic] discretas donde cada [pic][pic], dandose cuando en cada prueba o ensayo independiente (con reposicion) del E. A. interesa contar el numero de exitos en cada una de la k maneras como se puede dar un atributo. Ejemplo El atributo calidad de un producto se puede dar como: Excelente, bueno, regular y malo. Criterios o caracteristicas: 1.

Son [pic]pruebas o ensayos repetidos e identicos (con reposicion). 2. En cada prueba o ensayo se pueden producir [pic]resultados. 3. Las probabilidadeds de cada uno de los [pic]resultados [pic]permanecen constantes en todas las pruebas o ensayos. 4. Son pruebas o ensayos independientes. 5. El interes se centra en contar los [pic]exitos que se producen en los [pic]ensayos de cada una de las [pic]categorias posibles de observar cada vez. Si una prueba o intento puede dar cualquiera de los [pic]resultados posibles [pic]con probabilidades [pic], entonces la distribucion multinomial dara la probabilidad de que: pic]En [pic]pruebas independientes. y donde: [pic]y[pic] Como son pruebas independientes, cualquier orden especifico que produzca [pic]ocurrira con [pic]de probabilidad. El numero de ordenes o arreglos que pueden producir resultados similares sera: [pic] Combinando los dos componentes, se tiene entonces que: [pic] Con [pic]y [pic] 3. 7 Distribucion de Poisson. La Distribucion de Poisson se llama asi en honor a Simeon Dennis Poisson (1781-1840), frances que desarrollo esta distribucion basandose en estudios efectuados en la ultima parte de su vida.

La distribucion de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribucion de las llamadas telefonicas que llegan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institucion asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automoviles a la caseta de cobro y el numero de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en comun, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y asi sucesivamente). El numero de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo sera de 0,1,2,3,4,5 o algun otro numero entero.

De manera analoga, si se cuenta el numero de automoviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el numero sera entero. Caracteristicas de los procesos que producen una distribucion de la probabilidad de Poisson. El numero de vehiculos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor trafico sirve como ejemplo para mostrar las caracteristicas de una distribucion de probabilidad de Poisson. El promedio (media) de los arribos de vehiculos por hora de gran trafico puede estimarse a partir de los datos anteriores del trafico.

Si dividimos las horas de gran trafico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos: a) La probabilidad de que exactamente un vehiculo llegue por segundo a una caseta individual es un numero muy pequeno y es constante para que cada intervalo de un segundo. b) La probabilidad de que dos o mas vehiculos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un valor cero. c) El numero de vehiculos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran trafico. ) El numero de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del numero de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo. Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribucion de probabilidad de Poisson para describirlos. Calculo de probabilidades mediante la distribucion de Poisson. La distribucion de Poisson, segun hemos senalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta.

La letra X suele representar esa variable y puede ademas asumir valores enteros (0,1,2,3 etc.. ) . Utilizamos la letra X mayuscula para representar la variable aleatoria y la x minuscula para designar un valor especifico que puede asumir la X mayuscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribucion de Poisson se calcula mediante la formula: [pic] ( x = Lambda (numero medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x. e-( = e= 2. 71828 elevado a la potencia de lambda negativa. x! = x factorial. Ejemplo :

Supongase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policia indican una media de cinco accidentes por mes en el. El numero de accidentes esta distribuido conforme a la distribucion de Poisson, y la division de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado. Aplicando la formula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0. 00674 P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0. 03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0. 08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0. 14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0. 17552

Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que sera igual a : P(0) = 0. 00674 P(1) = 0. 03370 P(2) = 0. 08425 P(3) = 0. 14042 P(3 o menos) = 0. 26511 Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0. 26511 entonces la probabilidad de que ocurran mas de tres debe ser = 1 –0. 26511 = 0. 73489. La distribucion de Poisson como una aproximacion a la distribucion binomial. Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como : n=>20 p=