Plantas de vapor

‘ $ ? ? UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON ? ? Facultad de Ingenier? Mecanica y Electrica ? a Control Moderno Ene. -Jun. 2007 Observabilidad y Observadores de Estado Dr. Rodolfo Salinas mayo 2007 Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas % ‘ $ Resumen de clase • Observabilidad – propiedad de los sistemas din? micos para poder estimar a variable estado • Observador de estado – estructura de retroalimentaci? n que se utiliza o para estimar variable de estado Reconstrucci? n de la variable de estado. o • Con? guraciones: – Observador de lazo abierto – Observador de lazo cerrado • Ejemplos

Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 1 % ‘ $ Observabilidad Un sistema din? mico es observable en t0 si x(t0) puede ser determinado a a partir de la se? al de salida y[t0,t1] para t0 ? T y t0 ? t1, donde t1 es un n tiempo ? nito contenido en T . Para todo t0 y x(t0). • Propiedad del acoplamiento entre x(t) y y(t), por lo cual se involucra el par de matrices (A, C) • Permite determinar si las variables del sistema se pueden estimar o no • Matriz de

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observabilidad O = C T dimensi? n O ? Rn? mn o AT C T A2 C T T ··· An? 1 C T , T • La condici? n es similar a la controlabilidad, ara la observabilidad es o necesario que ? (O) = n • Para un sistema observable, es posible asignar los valores propios de A ? LC arbitrariamente. Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 2 % ‘ $ Motivaci? n de un observador de estado o El dise? o de un control por retroalimentaci? n de estado se hizo asumiendo n o que x(t) es conocido. Problema: Generalmente, este no es el caso en la pr? ctica, donde existen a factores que no permiten disponer de ellos: • Las variables no siempre son conocidas por no ser accesibles a medici? n o o por falta de sensores o transductores para realizar esta tarea. De tal manera, para realizar control por retroalimentaci? n de estado, o es necesario encontrar un substituto del vector de estado Objetivo: Explicar c? mo por medio de las entradas y salidas conocidas del o sistema se puede alimentar una estructura llamada estimador de estado para que sus salidas se aproximen al vector de estado del sistema. Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 3 % ‘ $ Observador de estado Cuando no se conoce el valor x(t), para implementar una retroalimentaci? n o de estado: • Es necesario dise? ar dispositivo din? mico de estimaci? n de estado n a o • Su estructura iene como entrada, la entrada u(t) y la salida y(t) del sistema original, y su salida es el vector de estado estimado x(t) ? • Se utiliza en un sistema de control donde no se pueda medir variables para determinar entrada u(t) = ? K x(t) ? r u B x. 1 s x C y A x^ K observador Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 4 % ‘ $ Esquema de estimaci? n de variable de estado o El sistema din? mico esta dado como a x(t) = Ax(t) + Bu(t) ? y(t) = Cx(t) • Ec. de salida y = Cx determina las variables medidas, disponibles o conocidas. • A, B, y C son conocidas, entrada u(t) es conocida. Las variables medidas son dadas por y = Cx, C=I Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 5 % ‘ $ Estructura del observador de estado de lazo abierto Duplicar x(t) la ecuaci? n de estado que representa el sistema original x(t) ? o A partir de una copia del sistema es posible realizar una estimaci? n o x(t) = Ax(t) + Bu(t) ? y(t) = Cx(t) ? x(t) = A? (t) + Bu(t) ? x y (t) = C x(t) ? ? u B x. 1 s x C y A x^. B 1 s x^ A Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 6 % ‘ $ An? lisis del observador de estado de lazo abierto a x(t) = Ax(t) + Bu(t) ? ? x(t) = A? (t) + Bu(t) ? Error de estimaci? n x(t) = x(t) ? x(t) o ? ? d (x ? x) = A(x ? x) ? ? dt y se desea tener x(t) = 0, ? t ? Es posible veri? car el comportamiento de la variable restando ambas ecs. ? ? x(t) = A? (t) ? x es la ec. diferencial que representa din? mica del sistema y tiene soluci? n a o x(t) = eAtx(0) ? ? Lo cual representa el error de estimaci? n para el valor inicial del error. o Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 7 % ‘ $ Pregunta: Se garantiza que x = 0, ? t? o mas aun x > 0 cuando t > ?? ? ? Para x(0) = 0, respuesta es x(t) = 0, pero qu? sucede si x(0) = 0? ? e ?

Si A es estable, entonces x > 0, t > ? , pero la din? mica del error est? ? a a dada por la din? mica del sistema de lazo abierto > valores propios de A. a Desventajas: 1. Din? mica del error de estimaci? n podr? ser muy lenta a o ? a 2. De esta representaci? n no hay forma de modi? car la din? mica o a 3. Es necesario calcular el estado inicial ya que no es conocido (solo y(t) se conoce) 4. Para una matriz A con valores propios positivos, cualquier diferencia entre x(t0) y x(t0), para t0 = 0 hace que el error de estimaci? n del ? o sistema x(t) aumente paran t ? t0. ? Por lo tanto la estimaci? de lazo abierto no es util para el objetivo que o ? buscamos Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 8 % ‘ $ Estructura del observador de estado de lazo cerrado Forma de remediar los problemas del observador de lazo abierto: • Comparar la salida del sistema estimado y (t) = C x(t) con la salida ? ? medida (sistema original) y(t) = Cx(t), y obtener el error como y (t) = y(t) ? y (t) = C x(t) ? ? ? u x. B 1 s x C y A y~ L x^. B 1 s x^ C y^ A Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 9 % ‘ $ An? lisis del observador de estado de lazo cerrado a El sistema anterior est? ado como a ? x(t) = A? (t) + Bu(t) + L? (t) ? x y y (t) = C x(t) ? ? donde L es la matriz de ganancia del observador. An? lisis de la din? mica del observador de lazo cerrado L ? Rn? 1 a a ? ? x(t) = x(t) ? x(t) = Ax + Bu ? A? + Bu + L(y ? y ) ? ? ? x ? = A(x ? x) ? L(Cx ? C x) = A? ? LC x = (A ? LC)? ? ? x ? x ? Din? mica del error de estimaci? n de lazo cerrado x = (A ? LC)? cuya a o ? x soluci? n es ? x(t) = e(A? LC)tx(0) o ? ? La ventaja de este observador es que se puede mejorar el error de estimaci? n seleccionando ganancia L adecuada. o Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 0 % ‘ $ Caracter? ?sticas del observador de lazo cerrado Las caracter? ?sticas del observador de lazo cerrado son • Se utiliza salida y(t) para mejorar el dise? o anterior haciendo una n correcci? n proporcional al error de estimaci? n en la salida. o o • Un dise? o apropiado de L podr? hacer que el error de estimaci? n tienda n a o asint? ticamente a cero, x(t) > 0 cuando t > ?. o ? • Los valores propios de (A ? LC) se pueden asignar de forma que tengan parte real menor que ?? , ? > 0 de tal manera que el error de estimaci? n en el vector de estado (todos los estados) disminuiri? a una o ? velocidad de e?? t. Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 11 % ‘ $ Asignaci? n de polos en observador o C? mo se selecciona la ganancia L? o • Dise? o de control: Escoger K para Ac = A ? BK, donde u = ? Kx n Obtener K ? R1? n tal que los polos de Ac det(sI ? A + BK) = ? c(s) se asignen a los polos deseados ? d. • Dise? o de observador: Escoger ganancia de estimaci? n L para A? LC n o Obtener L ? Rn? 1 tal que los polos de lazo cerrado del observador det(sI ? A + LC) = ? o(s) se asignen en los polos deseados ? d. Estos dos problemas son muy similares y se denominan problemas duales.

Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 12 % ‘ $ Procedimiento de asignaci? n de polos en observador o 1. Veri? car condici? n necesaria: rango de matriz observabilidad del sistema o sea igual a la dimensi? n del mismo, ? (O) = n o 2. Obtener la ecuaci? n caracter? o ? stica del observador A ? LC y sus valores propios 3. Valores propios del sistema de lazo cerrado son las ra? de polinomio ? ces caracter? ?stico del observador ? o(s) = det(sI ? A + LC) = 0 4. Determinar ecuaci? n caracter? o ? stica deseada polos deseados ? d 5. Encontrar ganancias de observador L por asignaci? de polos tal que o la ecuaci? n caracter? o ? stica de observador de lazo cerrado sea igual a los polos deseados ? det |sI ? A + LC| = 0 – ? d(s) = (s ? ?1)(s ? ?2) · · · (s ? ?n) = 0 ? l1 , l 2 , . . . , l n Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 13 % ‘ $ Ejemplo ?1 1. 5 1 ? 2 1 1 0 ? 0. 5 ? 1 A = C = ,B = , x(0) = 0 ,D = 0 Para el observador • Asumir que las condiciones iniciales no son conocidas. • El sistema original es estable, ? 1(A) = ? 0. 1771, ? 2(A) = ? 2. 8229 • La condici? n necesaria, observabilidad: O = C T o ? 1 1 1 ? 1 = 1. 5 ? 2 0 1. 5 Por lo tanto, el sistema es observable.

AT C T = Control Moderno N1 & AT C T , ? (O) = n , ?(O) = 2 ,O = 1 ? 1 0 1. 5 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 14 % ‘ $ Las condiciones iniciales del observador no son conocidas, se puede utilizar cualquier condicion inicial, aqui usaremos x(0)T = [0 0]. ? • Observador de lazo abierto ? x(t) = A? (t) + Bu(t) ? x y (t) = C x(t) ? ? • Observador de lazo cerrado ? x(t) = A? + Bu + L? = A? + Bu + L(y ? y ) ? x y x ? = (A ? LC)? + Bu + Ly x y (t) = C x(t) ? ? cuya din? mica est? dada por ? i(A ? LC), la cual toma las salidas a a medidas como entrada y genera un estimado de x. Control Moderno N1 & ayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 15 % ‘ $ • Lazo abierto: Sistema y su copia dados por siguientes ecuaciones x = Ax + Bu ? y = Cx ? x = A? + Bu ? x y = Cx ? ? en forma matricial ambos sistemas son ? 0. 5 ? ?1 ? ? =? ? 0 ? 0 ? ? x ? ? x ? y y ? Control Moderno N1 & = A 0 0 A C 0 0 C x x ? x x ? + B B u, x(0) x(0) ? = mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 16 % ‘ $ • Lazo cerrado : Sistema y su copia dados por siguientes ecuaciones x = Ax + Bu ? ? x = (A ? LC)? + Bu + LC x ? x ? en forma matricial ambos sistemas son x ? ? x ? = A LC 0 A ? LC x x ? + B B u Control Moderno N1 & mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 17 %