optimizacion portafolios

OPTIMIZACIÓN DE CARTERAS DE INVERSIÓN MODELO DE MARKOWITZ Y ESTIMACIÓN DE VOLATILIDAD CON GARCHa INVESTMENT PORTFOLIO OPTIMIZATION MARKOWITZ MODEL AND ESTIMATES OF VOLATILITY WITH GARCH Patricio Gálvez Gb Marcelo Salgado Ic Mauricio Gutiérrez Ud RESUMEN En el articulo se aborda el problema de construcción de portafolios de inversiones usando el modelo de Markowitz, proponiendo una forma distinta de calcular la volatilidad a través de modelos Garch, lo que permit OF13 problema se resuelv tr p de multiplicadores d Se aplica este mod de de Santiago de Ch a realidad.

El olsa de Comercio esempeño, usando como referentes un portafolio de mercado que replica el indice IGPA (Benchmark). Finalmente se hace referencias a trabajos futuros. PALABRAS CLAVES: Portafolio, volatilidad, Garch, Lagrange ABSTRACT The article addresses the problem of construction of investment portfolios using the Markowitz model, proposing a different way of calculating the volatility through GARCH model, which allows a better capture ofthe reality. The problem is solved through the Lagrange multipliers technique.

The model is applied to the market for the Stock Exchange of Santiago, Chile, to evaluate its erformance using as reference a market portfolio that replicates y Economía y Finanzas de la Universidad del Bio Bío Ingeniero Matemático departamento de Sistemas

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de Información de la Universidad del Bío Bío ngeniero en Estadística de la Universidad del Bío Bío d Doctor en Finanzas, Magíster en Finanzas, Académico del Departamento de Economía y Finanzas de la Universidad del Bío 39 INTRODUCCION En el campo de la teoría de selección de carteras, ocupa un lugar destacado Harry Markowitz que publicó en la revista Journal of Finance el articulo Portfolio Selection. El modelo planteado s considerado como un gran aporte a nivel teórico y es fundacional para todas las demás investigaciones realizadas posteriormente. Una de las criticas al modelo de Markowitz es que no considera la volatiwlidad de una serie financiera suponiendo homecedasticidad. para abordar este problema se han propuestos modelos entre en los que se encuentran la familia GARCH que tienen como finalidad predecir la volativilidad II MARCO TEORICO 2. Modelo de Markowitz El enfoque propuesto por Harry sobre la conformación de portafolios de inversión, revolucionó el c inanzas, entregando 20F principios, como el de port e portafolios eficientes es a través del siguiente modelo, que solo considera la minimización de la varianza del portafolio y que corresponde al siguiente esquema de programación no lineal. Una vez que el problema es resuelto con alguna técnica de programación matemática, se logra obtener la proporción de cada activo dentro de la cartera de inversiones y que satisfacen las restricciones planteadas en el modelo, sin considerar las condiciones de no negatividad para las ponderaciones de los activos. Para este estudio se resuelve el problema por medio de la técnica de Multiplicadores de Lagrange El modelo de Markowitz necesita entradas o inputs, los retornos esperados de los activos que integrarán la cartera y la matriz de varianza-covarianza entre los retornos de los activos. 0 El rendimiento o retorno promedio, es la estimación del retorno esperado y que se expresa como: donde : es el retornoe del activo al tiempo t : es el período o ventana de tiempo sobre la cual se está considerando el rendimiento o retorno promedio. La matriz de varianza covarianza representa toda la variabilidad y, por ende, el riesgo de los activos financieros. Su estimación precisa es fundamental en la eterminación de la carter 30F en el modelo de media-va contiene la información (homocedasticidad), por el contrario es muy frecuente la heterocidad, es decir, la varianza tiene cambios sistemáticos en el 2. 2 Modelos GARCH Los orígenes de este tipo de modelos se remontan a los artículos de Robert Engle[6], que propone una formulación que es capaz de modelar la heterocedasticidad observada en las series de tiempo financieras.

La posibilidad de entregar una previsión de la varianza condicional de este tipo de series, ya que la condicionalidad implicaba introducir en un modelo la información precedente en os mercados financieros y, por consiguiente, reflejar la conducta de los agentes de estos mercados, como la formación de expectativas en cuanto a los precios, trajo como consecuencia un enorme desarrollo para este tipo de formulaciones El primero de estos modelos conocido como de Heterocedasticidad condicional autorregresiva o ARCH(q), fue formulado como La primera expresión corresponde al término de error, mientras que la segunda que es el valor de la volatilidad (varianza condicional) en el tiempo t y que dependen de los cuadrados de estos términos de error. El término uede asumir una distribución normal, t-student o una distribución de error generalizada.

En cuanto al término corresponde a la innovación que se produce en la volatilidad en el periodo inmediatamente anterior y, finalmente, los términos son 40F los parámetros a ser estim esquemas multivariados originó los modelos MGARCH o GARCH propuesto por Bollerslev, Engle y Wooldridge en 1988. [6] [7] La formulación general para un es • Donde vech es un operador que permite descomponer la matriz Qt de covarianza condicional. Este modelo es muy complejo, ya que no se garantiza que la matriz de covarianza ondicional estimada sea definida positiva, por otra parte su implementación computacional no está exenta de dificultades ya que la cantidad de parámetros a estimar es enorme incrementándose los costos en este sentido.

Se han hecho esfuerzos para desarrollar formas más parsimoniosas, en el esquema multivariado, y que también garanticen que la matriz de covarianza condicional estimada sea definida positiva, surgiendo interesantes formulaciones auxiliadas por modelos de tipo financiero y que contemplan el uso de modelos GARCH univariados para determinar la matriz de covarianza condicional. 2. La frontera eficiente. La frontera eficiente es el conjunto de puntos del plano de retorno-riesgo, en la cual están todas las carteras de inversión que tienen un mínimo riesgo para un retorno esperado dado. Cuando se usa optimización para obtener la frontera eficiente, se debe resolver el problema de optimización, para cada ni R elegido por el inversionista corresponden a títulos accionarios que fueron transados en la Bolsa de Comercio de Santiago de Chile en el período que va desde el 2 de Enero de 1995 al 29 de Diciembre de 2000.

Existen numerosos criterios que recomiendan los expertos y ue permiten elegir los activos (o pasivos) que conformaran un portafolio de inversiones como los que están basados en: la liquidez del titulo, la mayor presencia bursátil del mismo, su patrimonio bursátil, etc. Sin embargo, para los objetivos que se propone este trabajo, solamente se consideran criterios como: el de elegir sólo titulos accionarios, ya que éstos poseen la característica de alta volatilidad que es la deseable para elaborar los modelos, y por otro lado que los títulos elegidos sean transados en la bolsa el mayor número de veces en el periodo considerado, de tal forma que estos activos ean de alguna forma representativos de los movimientos del mercado.

En consecuencia, los títulos que cumplen con los criterios antes señalados y que conformarán los portafolios de inversión son: COPEC (sector recursos naturales), CAP (sector industria), CTC-AY ENTEL (sector servicios), COLBUN y ENDESA (sector eléctrico). Respecto de la elección del período de tiempo para elaborar los modelos éste se dividió en dos partes. La primera corresponde al período que va desde el 2 de Enero de 1995 al 30 de Diciembre 42 de 1999, y es el período utilizado para hacer las estimaciones ecesarias para la formación de los modelos, y el período que de Enero de 2000 al 29 6 OF de Diciembre del mismo a desempeño de las carteras de inversión. ara la estimación de la matriz de covarianza condicional, se procedió primeramente a obtener las desviaciones estándar condicionales, para cada uno de las series de retornos de los activos seleccionados, usando modelos GARCH- Una de las etapas importantes en el ajuste de este tipo de modelos es el diagnóstico de la presencia de los hechos estilizados en cada una de las senes de retornos utilizadas Se procedió a ealizar pruebas estadísticas y gráficas sobre las series de retornos accionarios bajo estudio, con el objeto de poder establecer la presencia de algunos de los hechos estilizados La metodología para ajustar los modelos, consistió en aplicar los criterios de información para seleccionar los modelos que mejor se ajustaran a los datos en estudio, se procedió entonces a elaborar, en cada serie de retornos, un grid para cada combinación GARCH (p,q) , donde ; para medir la calidad que las medidas de adherencia incorporan y penalizan la cantidad de parámetros presentes en el modelo, y que son conocidos como riterios de información, y que son recomendados por la literatura para evaluar adherencia en los modelos GARCH [8] en particular se usó el Criterio de Información Bayesiano (81C) definido por : Donde: verosimilitud evaluada en el máximo n =número de observaciones utilizadas en la estimación del modelo k —numero de parámetros estimados en el GARCH Es así que se eligieron lo e minimizan el valor del 7 OF 31C, va que este último cri de los modelos fueron los siguientes – copec Modelo: ARCI 43 – CTC-A Modelo: CAP COLBUN – ENDESA – ENTEL IV ANÁLISIS DE RESULTADOS La elaboración del mode e media varianza es 80F aplicado a los seis activos ENDESA ENTEL Gráfico 1 Frontera eficiente obtenida 45 Tabla 3 Porcentajes invertidos por cada activo en la cartera con vananza-covananza no condicional Retorno que se define de la siguiente forma: : es el retorno esperado del portafolio durante el período de medición • es la tasa libre de riesgo : es la desviación estándar para el retorno del portafolio Este índice mide la relación entre la prima de riesgo de la cartera y su riesgo total Este índice fue calculado para el período que va desde el 3 de Enero de 2000 al 29 de Diciembre 000, empleándose como tasa libre de riesgo los pagarés reajustables del Banco Central (PRBC). Junto al cálculo del Índice, o ratio, Sharpe se determina la rentabilidad del portafolio o cartera de mercado la cual corresponde al índice IGPA para el mismo periodo. La utilización del IGPA como cartera de mercado o portafolio comparador (Benchmark) se basa en que es un índice representativo del mercado chileno reflejando la globalidad de éste en cuanto a rentabilidad y riesgo. 46 para determinar las variaciones del índice IGPA se empleó la siguiente relación: 0 DF 13 : es el retorno obtenido p el per[odo considerado