Metodo de gauss – jordan

Metodos eliminacion Gaussiana y metodo Gauss – Jordan Introduccion

Las matematicas en la actualidad siguen siendo una materia importante para dar solucion a los problemas que se nos presentan dia a dia, por ello es necesario, entenderla y aplicarla para desarrollar diferentes procesos mentales ademas de habilidades matematicas que todos los seres humanos debemos de usar, es por ello que en la asignatura de matematicas IV, la propuesta del analisis sobre el metodo de eliminacion Gaussiana y el metodo de Gauss – Jordan para resolver ecuaciones lineales en el presente ensayo, es para desarrollar las competencias necesarias para el logro del objetivo.

A continuacion se explican literalmente estos metodos para desarrollar las ideas pertinentes alrededor del tema. Definicion de Eliminacion Gaussiana … “En forma general este metodo propone la eliminacion progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener solo una ecuacion con una incognita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitucion regresiva hasta obtener los valores de todas las variables. ” Definicion del Metodo Gauss – Jordan “El metodo de Gauss-Jordan es una variacion de la eliminacion gaussiana. La principal diferencia consiste en que metodo de Gauss-Jordan cuando se elimina una incognita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes

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si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminacion genera una matriz identidad en vez de una matriz triangular. “ La solucion de ecuaciones lineales por el metodo de eliminacion Gaussiana y metodo de Gauss – Jordan, nos permite obtener la solucion de un numero de ecuaciones.

Para comenzar es necesario definir una ecuacion lineal, siendo esta un planteamiento de igualdad, en la cual se pueden incluir una o mas variables, y que no contiene productos entre las variables, esto es, una ecuacion que implica solamente sumas y restas de una variable, teniendo como caracteristica que en el sistema cartesiano representan rectas. La forma comun de ecuaciones lineales es: y = m * x + b Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y). Algunos ejemplos de ecuaciones lineales son: 6x + 5y = 10 8x + y – 3 = -2x + 9y + 4 – b + c = 20 7x – 5y + z = 15 La definicion de una ecuacion lineal nos permite continuar con la explicacion de los metodos eliminacion Gaussiana y el de metodo Gauss – Jordan, siendo el primero el metodo que propone eliminar progresivamente las variables en un sistema de ecuaciones, para finalmente llegar a tener solo una ecuacion con una incognita, ya teniendo esta se obtienen los demas valores por el metodo de sustitucion, la segunda es un algoritmo del algebra lineal que nos permite determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, asi como encontrar matrices y matrices inversas.

El metodo de eliminacion Gaussiana nos permite resolver sistemas lineales de la siguiente forma: A * X = B Este consiste en consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema: (A ? B) Para obtener un sistema equivalente: Para comprender mejor estos metodos la mejor forma es realizar un ejemplo paso a paso que a continuacion se presenta: Resolver el siguiente sistema por el metodo de eliminacion Gaussiana y metodo Gauss – Jordan: 2×1 + x2 – x3 = 1 | 5×1 + 2×2 + 2×3 = – 4 | 3×1 + x2 + x3 = 5 | | | SOLUCION: 1. – Comenzamos escribiendo la matriz: 2 1 -1 1 (R1) 2 2 -4 (R2) 3 1 1 5 (R3) 2. – A continuacion realizamos el primer pivoteo, que consiste en dividir el renglon uno (R1) entre 2, colocando el resultado en (R1): 1 1/2 -1/2 1/2 5 2 2 -4 3 1 1 5 | | 3. – Para obtener ceros debajo del pivoteo, multiplicamos -5 por (R1) y le sumamos (R2) colocandolo en (R2), a continuacion multiplicamos -3 por (R1) y le sumamos (R3) colocandolo en (R3) obtenemos: 1 1/2 -1/2 1/2 0 -1/2 9/2 -13/2 0 -1/2 5/2 – 7/2 4. – Ahora, para realizar el siguiente pivote, multiplicamos -2 por (R2) y lo colocamos en (R2), pero para simplificar R3), multiplicamos 2 por (R2) y lo ponemos en (R3) obteniendo: 1 1/2 -1/2 1/2 0 1 -9 13 0 -1 5 7 5. – Para hacer ceros abajo del pivote anterior, necesitamos sumar (R2) y le sumamos (R3) colocandolo en (R3) para obtener: 1 1/2 -1/2 1/2 0 1 -9 13 0 0 -4 20 6. – Podemos observar que solo nos queda un elemento por pivotear, por lo tanto dividimos (R3) entre -4 para colocarlo en (R3) y asi obtener: 1 1/2 -1/2 1/2 0 1 -9 13 0 0 1 -5 Por lo tanto el sistema equivale a: X1 + 1/2X2 – 1/2X3 = 1/2 X2 – 9X3 = 13 X3 = – 5

En este ultimo paso podemos concluir el metodo de eliminacion gaussiana teniendo como resultado: X3 = -5 Sustituyendo este valor en la ecuacion de (R2) tenemos: X2 -9X3 = 13 X2 = 13 – 9(-5) X2 = -32 Sustituyendo x3 y x2 en (R1) tenemos: X1 – 1/2×2 – 1/2×3 = 1/2 X1= 1/2 + 1/2(-23) + 1/2(-5) X1= 1/2 – 23/2 – 5/2 X1 = -27/2 Ahora bien de esta manera concluimos el metodo de eliminacion Gaussiana el cual nos da los resultados de las 3 variables en ecuaciones diferentes. Pero a continuacion se presenta el metodo de Gauss – Jordan para continuar con la solucion de esta matriz.

Para lograr esto, es necesario utilizar la tecnica del pivoteo con la unica diferencia que el pivote se usa para hacer ceros hacia abajo y hacia arriba. La matriz quedo de la siguiente manera: 1 1/2 -1/2 1/2 0 1 -9 13 0 0 1 -5 Para resolverla mediante Gauss – Jordan realizamos lo siguiente: 7. – Hacer ceros los de arriba, comenzamos multiplicando 9 por (R3) mas (R2) colocandolo en (R3) obtenemos: 1 1/2 -1/2 1/2 0 1 0 -32 0 0 1 -5 8. – Siguiente paso multiplicar 1/2 por (R3) sumarle (R1) y colocarlo en (R1) para obtener: 1 1/2 0 2 0 1 0 -32 0 1 -5 9. – Solo nos queda un elemento para convertirlo en cero, el cual lo obtenemos multiplicando -1/2 por (R2) sumarle (R1) para colocarlo en (R1) obteniendo entonces la matriz final: 1 0 0 14 0 1 0 -32 0 0 1 -5 Obteniendo finalmente la solucion de ecuaciones: X1 = 14 X2 = -32 X3 = -5 Podra notarse que cualquiera de los 2 metodos anteriores nos llevan a la misma solucion, con la diferencia en el metodo de eliminacion Gaussiana se realizan menos pasos que en el metodo de Gauss – Jordan, por lo que depende del lector escoger el metodo a seguir.

Asi como se puede observar que cualquiera de los dos metodos puede ser utilizado para resolver matrices, llegando a la conclusion que cualquiera es bueno dependiendo del objetivo que se persiga para la aplicacion de la misma. Bibliografia: http://es. wikipedia. org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan http://docentes. uacj. mx/gtapia/AN/Unidad3/Jordan/JORDAN. htm Clases de matematicas IV, Instituto Tecnologico de Puebla