Mecanica elemental de materiales

Mecanica elemental de materiales gy jimb0777 A,2Ka5pR 03, 2010 13 pagcs BREVE INTRODUCCION A LA INTEGRACION VECTORIAL Kepler Ck Ikastegia 2007 Breve introducci ‘n a la integraci ‘n vectorial o o Kepler Ck Ikastegia Indice general . Integraci’n vectorial 0 1. 1 . Integrales curvil’ Inea o de camino superficie 2. EjerciCi0S 13 2. 1. Ej gradientes de campo integrales de I • Inea _ se Ineas, de I’ 1. 2. Integrales de … 558 direcclonales y Ejercicios sobre 15 Breve introducci n a la integraci ‘ n vectorial o o 4 Cap’ Itulo 1 Integraci ‘ n vectorial o 1. 1. ean c: [a, b]QIR– IR3t- ?? (x(t), y(t), z(t)) una curva regular parametrizada en IR3yf : IR3 – Inea de primera especie) del campo escalar f a lo largo de la curva C a la siguiente integral: f dl = c dx dy dz , , denota el vector tangente a la curva en el dt dt dt punto C(t). Si la curva es cerrada, es decir, C(a) C(b) la notaci’ n es o donde C (t) = (x (t), y (t), z (t)) = f dl Ejemplo: Si f = 1, es decir, V(x, y, z) IR3 es

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f (x, y, z) = 1 entonces f dl = C (t) dt Breve introducci’n a la integraci•n vectorial o o representa la longitud de la curva.

Sean C : [O, 2TT]Cl – IR2 R (R cos t, R en t) una parametrizaci ‘ n positiva de la circunferencia de radio R > 0 centrada en el origen en IR2 , y o f: IR2 campo escalar constante, entonces f dl = 2 3 Inea de segunda especie) de F a lo largo de la curva C a la integral: En notaci’ n cl’ sica se escribir’ oa la Fl dx+F2dY+F3 dz Si la CUPJa es cerrada, es decir, C(a) = C(b) la notaci’ n es o F dl y en este caso se habla de circulaci’n de F a lo largo de la cuma cerrada C. Ejemplo: Si la fuerza es F : IR2 IR2 (x, y) – 22 6 Kepler Ck Ikastegia Breve introducci n a la integraci ‘n vectorial o o F = kN 45 Figura 1 . : Trabajo realizado por una fuerza constante de m dulo «k» Newtons para trasladar o un cuerpo de masa «m» kg de un punto a otro a lo largo de un segmento de recta de longitud «s» metros. y la re de la cual se ejerce tiene 3 la parametrizaci ‘ n siguien CIR– IR2t– (St,0) i. e. si existe un campo escalar f (denominado potencial) af af , , y se cumplen los requisitos de continuidad entonces F dl = tal que dt = f (C(b)) — f (C(a)) a a a dt Ejemplo: Supongamos que tenemos una masa «M»situada en el origen; «sta crea a su alrededor un campo e gravitatorio cuya expresi ‘ n en un punto (x, y, z) de IR3 e acuerdo con la Ley de Gravitaci’ n o o Universal de Newton viene dada por: E(x, y, z) —GM r r 3 Pues bien, si consideramos el campo opuesto —E resulta que es un gradiente y su funci’ n o potencial es el campo escalar siguiente: V (x, y, z) = —GM r donde G es la constante de gravitaci’n universal y r — r(x, y, z) es el vector de posici n del o o punto (x, y, z). or tanto el trabajo que hay que realizar (venciendo la resitencia del campo) 7 Kepler Ck Ikastegia Breve introducci n a la integraci ‘ n vectorial o o para llevar una part’ Icula de masa «m»de un punto C(a) = (XI , yl , zl ) a otro C(b) x2 , y2 , z2 ) es m Edl— m dt=1 1 -ri m V (C(t)) C (t) dt = m (V (C(b)) – V (CG))) = Gt-nM 13 ya que la fuerza que se ele art’ Icula durante la V (C(a))) – Gr-nM ya que la fuerza que se ejerce sobre la part’ Icula durante la trayectoria es F = —m E. Al producto de la masa por el potencial se le llama energ’ potencial y se denota por Ep = rTIV . la As’ el trabajo para trasladar la masa desde el primer punto hasta el segundo venciendo la l, resitencia del campo coincide con la variaci’ n de la energ• potencial, i. e. , o la W Ep (b) — Ep (a) AEp Es obvio que el trabajo que realiza la fuerza que crea el campo es su opuesto, es decir, —AEp . En el caso de pertenecer dichos puntos a la misma superficie equipotencial (conjunto de puntos que tienen el mismo potencial) el trabajo que hay que realizar para mover la part’ ‘cula es nulo pues rl = r2 .

Observamos que si el punto de partida se sit’ a en el infinito ( rl – entonces la expresi n u o del trabajo es GM m = mV (r2 ) = Ep (r2 ) F dl – — r2 CAS’ pueden definirse la energ’ potencial de una masa colocada en un punto como el trabajo que l, la hay que realizar ontra el campo para llevarla desde el infinito hasta el punto en que se encuentra y el potencial en un punto como la eneg potencial que tiene la unidad de masa colocada en la dicho punto, o equivalentemente, el trabajo que hay que realizar venciendo la resitencia del campo para traslad s 3 equivalentemente, el trabajo que hay que realizar venciendo la resitencia del campo para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta el punto en cuesti ‘ n. o Sean Integrales de superficie o: DCIR2– IR3(u, v) -— (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) la parametrizaci ‘n de una superficie regular S – Q(D) en IR3 donde D es un dominio de IR2 , y o f: IR3 IR (x, y, z) — z) un campo escalar continuo.

La imagen por de las rectas del plano v = vo y u = uo producen unas curvas Q(u) y respectivamente cuyos vectores tangentes en $(uO , vo ) son: Tu v = 8 ôX(uo , vo ) , vo ) ôzcuo , , au ôu ôX(uo , vo) ay(u0 , vo ) ôz(uO , vo ) , , Kepler Ck Ikastegia Breve introducci n a la integraci•n vectorial 00 Q v = vo roco 7 6 3 Definici ‘ n: o Se llama integral del campo escalar f sobre la superficie S a la integral doble siguiente: D f (Q01, V)) Tu x TV du civ Ejemplo: Si f = 1 es un campo escalar constante e igual a 1 la integral de superficie representa el » rea a de la misma; por ejemplo, si se considera una esfera en IR3 de rad10 R centrada en el origen parametrizada como sigue: rt Q. , 22 x (0, 2rt) c IR2 IR3 (u, v)- (R cos u cos v, R cos u sen v, R sen u) se tiene que Tu = (—R sen u cos v, —R sen u sen v, R cos u) y Tv = (-R cos u sen v, R cos u cos v, O) luego Tu x Tv R2 cos u Por tanto, ( -n , 22 R2 cos u du dv R2 v cos u R2 cos u du dv = du = 2nR2 sen u Ejemplo: S Qr representa el campo el’ ctrico en un punto (x, y, z) creado por 4 r 3 una carga el • ctrica puntual positiva Q situada en el origen de IR3 podemos calcular el flujo que e atraviesa una esfera de radio R centrada en O como sigue: E(x, y, z) dS 1 Q Q(u, Tv) du dv Q Q1 Q Tu x Tv du dv – artR2 = 4 REO R2 D 4 rtE0 R2 EO que es la conocida ey de Gauss del flujo electrost tico que se estudia en Bachillerato, siendo a EO la permitividad el’ ctrica del vac- y Q la parametrizaci’n de la esfera de radio R utilizada e 10, o en el ejemplo anterior; como es de suponer se demuestra que todos estos resultados son independientes (salvo el signo) de la parametrizaci n utilizada. sea F: IR3– 13 y, 0– (Fl (x, y, z), (x, y, z), un campo vectorial con derivadas parciales en todos los puntos; se denomina rotacional de F al campo vectorial siguiente: rot F ôF3 ôF2 ôFl ôF3 ôF2 ôF1 axôxay y se denomina divergencia de F al campo escalar siguiente: div F = OFI OF2 + + ox El rotacional y la divergencia aparecen en la formulaci•n de los resultados m ‘s importantes de la o a teor’ de divergencia aparecen en la formulaci»n de los resultados m ‘s importantes de la o a teor’ de la integraci’n vectorial, los teoremas de Stokes y de Gauss. Por otra parte estos campos la o se pueden expresar de forma muy sencilla conviniendo considerar el operador — , , ôx Üy ôz como un vector.

As tenemos: I Fl F2 k a az F3 Kepler Ck Ikastegia rot F – 10 Breve introducci•n a la integraci•n vectorial o o y div Recordemos que el gradiente de un campo escalar f es el resultado de aplicar dicho operador a f , es decir OfOfOf , , grad f = f = àxôy dz Hay que insistir en que esto no es sino un recurso mnemot ‘ cnico; la expresi» n de los campos e o rotacional y divergencia a partir del operador facilita y simplifica el c Iculo, in embargo, para a evitar operaciones carentes de sentido se debe tener siempre presente el convenio anteriormente citado. Teorema (de Stokes): Sea S = Q(D) una superficie parametrizada en IR3y una parametrizaci ‘ n de la misma.

Si 0 2 la frontera de D c es una curva cerrada y regular C = C(I) parametrizada en el intervalo R I [a, b], si r es el borde de la superficie Sy F es un campo vectorial, y se cumplen ciertas hip ‘tesls de difer es el borde de la superficie Sy F es un campo vectorial, y se cumplen ciertas hip’ tesis de diferenciabilidad en las que no se va a entrar entonces: o rot F dS F dl Teorema (de Gauss o de la divergencia) Sea M una regi’n de IR3 que cumple ciertas hip «tesis en las que no entraremos; si su frontera o o es una superficie S que verifica ciertas condiciones y F (Fl , F2 , F3 ) es un campo vectorial definido en un abierto que contenga a M entonces: div F dx dy dz – F ds donde la primera integral es una integral triple (de Riemann) en IR3 y la segunda es una integral de superficie (que ya se ha definido). Breve introducci’n a la integraci ‘n vectorial o o 12 Cap• Itulo 2 Ejercicios 2. 1. Eiercicios sobre deriva les y gradientes de