Maximos y minimos de una funcion

Maximos y Minimos. – Es una aplicacion de la derivada muy interesante llamada Maximos y Minimos. Se refiere a la forma de obtener los puntos maximos y minimos de una funcion. Supongase que la grafica de cualquier funcion y = f ( x) es la curva mostrada en la figura. En ella, los puntos A y E se llaman maximos; los puntos C y G se llaman minimos; y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexion. No se puede definir un maximo como el punto mas alto de la curva, pues observese en la figura que el punto H esta mas alto que los puntos maximos A y E. Por la misma razon, no se puede definir un minimo como el punto mas ajo de la curva, pues vease que el punto F esta mas abajo que el punto minimo C. Como definir un punto maximo y un punto minimo con todo rigor ha sido motivo de controversias entre los matematicos, aqui se va a dar una definicion simplemente “convincente”. En la figura el punto M es maximo con coordenadas (x, y), es decir, para una abscisa x le corresponde la ordenada y. Entonces, se tiene

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un maximo en dicho punto si para cualquier abscisa alrededor de M le corresponde una ordenada ym menor que la de M. Efectivamente, en la figura, para la abscisa x1 le corresponde una ordenada y1 que es menor que y; y para la bscisa x2 le corresponde una ordenada y2 tambien menor que y. Por similitud, un punto N de coordenadas (x, y) es minimo si para cualquier abscisa (x) alrededor de N le corresponde una ordenada yn mayor que la de N. O sea que para una abscisa x1 le corresponda una ordenada y1 mayor que y; y para una abscisa x2 le corresponda una ordenada y2 tambien mayor que y, con x1 < x < x2. Un punto de inflexion es aquel en donde cambia el sentido de la curvatura. Una caracteristica importantisima de los puntos maximos y minimos es que alli la tangente es horizontal, es decir, con pendiente cero.

En la figura se tiene la tangente T1 con punto de tangencia en x1 < x, la cual tiene pendiente positiva. Y se tiene otra tangente T2con punto de tangencia en x < x2, la cual tiene pendiente negativa. x1 < x < x2 La pendiente de la tangente T1 es positiva mientras que la pendiente de la tangente T2 es negativa. Como la pendiente de la recta tangente es la derivada, se puede afirmar que cuando se toma un valor de la abscisa (de la x ), respecto del punto M, primero menor y luego mayor, si la derivada pasa de positiva a negativa, ese punto M es un maximo. Lo inverso, pero bajo el mismo analisis, se puede deducir ara un minimo: Cuando se toma un valor de la abscisa (de la x ), respecto del punto M, primero menor y luego mayor, si la derivada pasa de negativa a positiva, ese punto M es un minimo. En sintesis, se puede formular la siguiente regla para calcular los maximos y/o minimos de una funcion f(x): Ejemplo: Hallar los valores maximos y/o minimos de la funcion y = x2 ? 4x + 7 . Solucion: Graficando la funcion anterior se obtiene la parabola de la figura, en la cual se ve que tiene solamente un minimo. Lo anterior debera confirmarse aplicando el procedimiento. Paso 1: Derivando la funcion e igualando a cero: y / dx = 2x- 4= 0 Paso 2: Resolviendo 2x – 4 = 0, se llega a que x = 2. Este es el valor critico. En este momento se sabe que en x = 2 hay un maximo o un minimo, pero no se sabe cual de los dos. Paso 3a: Dando primero un valor un poco mas pequeno que x = 2, por ejemplo, con x = 1 y sustituyendo en la derivada: dy / dx = 2 (1) – 4 = – 2 luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendo en la derivada: dy / dx = 2 (3) – 4 = 2 Paso 3b: Como la derivada cambio de signo de negativo a positivo significa que existe un minimo en el valor critico que se analiza, es decir, hay un minimo en x = 2.