Matematicas

TEMA 0 1 – CONJUNTOS Un conjunto es una agrupacion, clase o coleccion de objetos denominados elementos del conjunto. Por objeto entenderemos no solo entes fisicos, como mesas, sillas, etc. , sino tambien entes abstractos, como son numeros, letras, etc. [pic] [pic] Los conjuntos se construyen a partir del Principio de Induccion: Para los numeros naturales: [pic] Supongamos que nos preguntemos si todos los numeros naturales tienen una propiedad que llamaremos [pic], de la que sabemos dos cosas: • Enunciado 1: El numero uno posee la propiedad [pic]. Enunciado 2: Si un numero posee la propiedad [pic], el siguiente numero tambien la posee. Es decir, si n tiene la propiedad [pic], entonces n + 1 tambien. Principio de induccion: Si los enunciados 1 y 2 son verdaderos, entonces todos los numeros naturales tienen la propiedad [pic]. Por ejemplo, para cualquier numero natural n, la suma de todos los numeros desde 1 hasta n es: [pic] Para demostrar que esto es verdad para cualquier numero natural, basta con demostrar que para [pic] los enunciados 1 y 2 son verdad. El primer enunciado se cumple, ya que la suma desde 1 hasta 1 es simplemente 1.

En efecto, sustituyendo en la formula anterior n

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= 1 obtenemos: [pic] Ahora que sabemos que el enunciado 1 se cumple, nos ocupamos de demostrar que se cumple el enunciado 2: La suma desde 1 hasta el numero siguiente sera: [pic] Si ahora suponemos que el numero n tiene la propiedad [pic] y operamos un poco con el miembro de la derecha, obtenemos identico resultado que sustituyendo n por n + 1 en la formula de la suma de Gauss: [pic] Por lo tanto, si la formula se cumple para n, entonces tambien se cumple para n + 1 (sea lo que sea n).

Ademas del conjunto de los numeros naturales, otros ejemplos de conjuntos son: Numeros enteros: [pic] Numeros racionales: [pic] Numeros reales: [pic] NUMEROS COMPLEJOS: [pic] – Operaciones con numeros complejos: • Suma: [pic] Es conmutativa, asociativa, existe neutro (= 1) y existe simetrico (z = a + bi , -z =-a – bi ; z – z = 0) • Producto: [pic] Es asociativo, conmutativo, existe neutro (=1) y tiene inverso z-1 a partir del conjugado. 1. 1 – OPERACIONES DE CONJUNTOS Sean dos conjuntos A y B: • Union: [pic] • Interseccion: [pic] • Diferencia: [pic] • • Producto cartesiano: [pic] ———————– [pic]