Mate

?QUE ES UNA SUCESION? Una sucesion es un conjunto de cosas (normalmente numeros) una detras de otra, en un cierto orden. Para denotar el n-esimo elemento de la sucesion se escribe an en lugar de f(n). Limite de una sucesion La definicion del limite matematico en el caso de una sucesion es muy parecida a la definicion del limite de una funcion cuando x tiende a {draw:frame} . Decimos que la sucesion an tiende hasta su limite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como: {draw:frame} si podemos encontrar un numero N tal que todos los terminos de la sucesion a a cuando n crece sin cota.

Formalmente: {draw:frame} {draw:frame} _Las sucesiones matematicas, pueden ser convergentes (tienden a un numero, pero nunca_ lo alcanzan) o divergentes (tienden a ? o a -? ). Se dice que un numero L es el limite de una sucesion, de termino general an, si la diferencia en valor absoluto entre an y L es menor que un numero cualquiera, e , previamente elegido. Expresado matematicamente ? an – L? < e. Esta definicion es de Cauchy. El limite de una sucesion cuyo termino general es nk es ? . El limite

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de una sucesion cuyo termino general es 1/nk es 0

El limite de una sucesion cuyo termino general es kn es 0, donde 0 < k 1 El limite de una sucesion cuyo termino general es un polinomio es divergente. Su limite es + ? , cuando el coeficiente del termino de mayor grado es positivo, y -? , cuando es negativo. El limite de una suma o diferencia de sucesiones es la suma o diferencia da cada una de ellas El limite de un producto o cociente de sucesiones es el producto o cociente de los limites de cada una de ellas. El limite de la sucesion potencia de dos sucesiones es igual al limite de la sucesion base, elevado al limite de la sucesion exponente.

El limite de la sucesion potencia de una sucesion es igual al limite de la sucesion elevado al exponente de la potencia. A veces, al calcular el limite de una sucesion nos sale una indeterminacion. Si una sucesion (an ) tiene limite positivo, existe un termino a partir del cual todos los terminos de la sucesion son positivos. Si una sucesion (an ) tiene limite negativo, existe un termino a partir del cual los terminos de la sucesion son negativos. Si una sucesion converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los terminos de la sucesion.

Si una sucesion (an) tiende a menos infinito y (an) < 0 entonces 1 / an tiende a 0 En matematica, el limite es un concepto que describe la tendencia de una sucesion o una funcion, a medida que los parametros de esa sucesion o funcion se acercan a determinado valor. En calculo (especialmente en analisis real y matematico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivacion, integracion, entre otros. SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS Definiciones: Una sucesion {draw:frame} es creciente si para todo {draw:frame} : {draw:frame} .

Una sucesion {draw:frame} es decreciente si para todo {draw:frame} : {draw:frame} . Una sucesion es monotona si es creciente o decreciente. Una sucesion esta acotada por arriba si existe un real {draw:frame} tal que para todo {draw:frame} : {draw:frame} . Una sucesion esta acotada por debajo si existe un real {draw:frame} tal que para todo {draw:frame} : {draw:frame} . Teorema: (Weierstrass) Toda sucesion creciente y acotada por arriba converge. Toda sucesion decreciente y acotada por debajo converge. Ademas, si {draw:frame} converge, entonces {draw:frame} .

Por ejemplo, si {draw:frame} , entonces {draw:frame} . Los hechos anteriores nos permiten calcular limites de sucesiones monotonas y acotadas. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo: Sea {draw:frame} la siguiente sucesion: {draw:frame} , {draw:frame} . Encuentre el limite de {draw:frame} (si existe). Solucion: Primero veamos que {draw:frame} es decreciente (hacemos induccion): {text:list-item} {text:list-item} {draw:frame} . Entonces: {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame} Entonces la sucesion es decreciente. Veamos que {draw:frame} esta acotada inferiormente por {draw:frame} (hacemos nduccion): {text:list-item} {text:list-item} {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame} De modo que {draw:frame} esta acotada por {draw:frame} . {text:list-item} Ejemplo: Sea {draw:frame} la sucesion dada por {draw:frame} , {draw:frame} . Encuentre el limite de {draw:frame} (si existe). Solucion: (Encuentre el error… ) {draw:frame} . Entonces {draw:frame} Sucesiones Monotonas: Una sucesion es monotona si sus terminos son no decrecientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …….. ? {an}= {3+(-1)n} Esta sucesion alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es monotona. Y {bn}= {2n/(1 + n) Monotona , por que cada termino es mayor que su predecesor. Sucesiones Acotadas: Una sucesion {an} es acotada si existe un numero real positivo M tal que [an] sea menor o igual que M para todo n. Llamamos a M una cota superior de la sucesion por ejemplo las tres sucesiones siguientes son acotadas debido a : [3+(-1)n] es 1 o | x | = 1 La serie de potencias {draw:frame} es absolutamente convergente para todo {draw:frame} La serie de potencias {draw:frame} DERIVACION DE SERIES DE POTENCIAS ?Que es una serie de potencias? Si x, x0, y an (n=0,1,2,3,… son numeros reales a la serie: La progresion geometrica La progresion geometrica Sumando una progresion geometrica Se denomina como Sn a la suma de n terminos consecutivos de una progresion geometrica: S_n = a1 + a2 + … + an-1 + an _ Si se quiere obtener una formula para calcular de una manera rapida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razon de la progresion r. Sumando una progresion geometrica Si se tiene en cuenta que al multiplicar un termino de una progresion geometrica por la razon se obtiene el termino siguiente de esa progresion:

Sumando una progresion geometrica Si se procede a restar de esta igualdad la primera: _Sn r – Sn = – a1 + an r_ o lo que es lo mismo: Sumando una progresion geometrica Y si tomamos en cuenta que a_n = a1 rn-1_ Entonces: Suma de terminos infinitos de una progresion geometrica Basados en la formula anterior, cuando: La suma de los infinitos terminos de una progresion geometrica de razon inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente formula: Ahora usemos la formula… Si tenemos la serie: Esta es una serie de potencia convergente a 0 dentro de un intervalo de ( -1 , 1 ).

Ahora usemos la formula… Esta serie es una sucesion geometrica de razon x, es decir, que cada termino se multiplica por x para generar al siguiente termino. De manera que con la formula que sacamos anteriormente, podemos obtener la suma con: es decir: Ahora usemos la formula… Si por ejemplo, a x le damos el valor de 0. 25: Ahora usemos la formula… De esa manera obtenemos que la suma es 4/3. ?Podemos definir un valor concreto para la razon, para asi usar la formula? ?Las derivadas al rescate! La derivacion en las series se hace termino a termino:

El uso de las derivadas en las series de potencia Ahora… ? podemos definir la razon de la progresion geometrica? Si, si podemos, es igual a: -x Por lo tanto, ahora si podemos utilizar la formula encontrada anteriormente. El uso de las derivadas en las series de potencia Asi, sustituyendo tenemos que: esta formula lo que hara sera sacar la suma de la serie que es producto de la derivada de la primera serie. El uso de las derivadas en las series de potencia Asi que para revertir el proceso de la derivacion, integramos todos los valores desde 0 hasta x:

El uso de las derivadas en las series de potencia La serie esta acotada en ( -1 , 1 ], por lo que podemos dar por ejemplo el valor de 1 a x, de tal forma que: REPRESENTACION DE UNA FUNCION EN SERIE DE POTENCIAL Series de potencias geometricas. Consideremos la funcion {draw:frame} {draw:frame} Su forma recuerda mucho la suma de una serie geometrica. {draw:frame} {draw:frame} En otras palabras, si hacemos a = 1 y r =x, una representacion en forma de serie de potencias para {draw:frame} {draw:frame} centrada en 0, es {draw:frame} {draw:frame} = 1 + x + x2 +x3 + {draw:frame} {draw:frame}