MARIA

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION U. E. «ANTONIO JOSE SUCRE» MATURIN ESTADO MONAGAS 0 p PROF: Karla López MATERIA: Matemática REALIZADO POR: Caraballo, Maria Rivas, Yober ato Año «B» matemáticas, física y electrónica, ya que facilitan los cálculos. Para entender un poco más lo que son los Números Complejos se ha realizado un enfoque sobre el mismo, el cual incluye: Definición y concepto, Ejemplos, Evolución Histórica, Personajes Significativos, uso y Operación de los mismos.

Esperamos que este trabajo sirva para motivar a los docentes y lumnos de educación media y diversificada, hacia el estudio de estos temas de matemáticas. DEFINICION YCONCEPTO DE NUMEROS COMPLEJOS Un Numero Complejo es una expresión del tipo z = a + bi donde a y b son números reales e i es un símbolo, donde todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por ay b respectivamente. Asf pues, tenemos Re(z) = a e Im(Z) = b.

Ejemplo El siguiente es un numero complejo z 2 + 3i. Su parte real es 2 y su parte imaginaria es 3. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto

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de los reales se cumple que . Los números omplejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como las matemáticas puras 20F 10 V aplicadas como variable aciones diferenciales, la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y a corriente eléctrica. EJEMPLOS DE NUMEROS COMPLEJOS 12-3. 1i -0. 5 – 2i Número complejo Parte real Parte imaginaria 3+21 3 2 5 -6i -6 Suma y Resta: (5-8-4) 2)i- –7 + 7i Multiplicación: 7i) = ((3×1 20) + (30 + -11 + 23i 30F 2-4i +8i2=-6-8i negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX. PERSONAJES SIGNIFICATIVOS EN EL ESTUDIO DE LOS NUMEROS

COMPLEJOS Girolamo Cardano (1 501—1 576): Matemático italiano y el primero en usar los números complejos, los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Gran matemático alemán. El término «número complejo» fue introducido por el cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teor[a de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

USO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 40F Se usa en matemáticas v f amente: complejos. Se usa en matemáticas y física, específicamente: En los modelamientos matemáticos de procesos físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas. En los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. ‘ En Ingenier(a electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables, al representar una corriente o un voltaje de corriente alterna. ‘ Para ubicar puntos en un plano y representar polinomios , estos números son utilizados en varias ramas de la matemática. En el análisis de circuitos de corriente alterna. para sacar la raíz cuadrada de un número negativo. La unidad imaginaria la podemos usar para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos.

Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginano es un número complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro número complejo. En la relatividad especial y la relatividad general. En Ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferen onstantes, es habitual en con coeficientes 0 ro las raíces (en general vigas(para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas(para los físicos), además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor. ‘ En los Sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. v’ Para desarrollar modelos y fórmulas matemáticas que permitan calcular las distintas variables o valores de diseño con los que se va a construir un proyecto, como por ejemplo, cálculos de estructuras, resistencia de materiales a utilizar, etc. a fin de poder obtener las especificaciones y costo de ese proyecto.

Como herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. También se aplican en ingeniería electronica, entre otros campos de igual importancia. En el análisis de señales y otros campos para una descripción conveniente para señales que varían periódicamente. v’ En la Dinámica de fluidos, funciones complejas se utilizan para describir el flujo potencial en dos dimensiones.

En el estudio del crecimiento de ciertas poblaciones bacterianas, en el diseño de las alas de un avión, en la generación de espectaculares imágenes fractales en la computadora, en el estudio del movimiento vibratorio, las oscilaciones armónicas y otros fenómenos ondulatorios que, por ejemplo, están en base de toda la tecnología de las telecomunicaciones. En resolver de una form conveniente a gunos 6 0 problemas cuyo planteami n vienen dados en núme forma más rápida y conveniente algunos problemas cuyo planteamiento y solución vienen dados en números reales.

Incluso hay ejemplos que no se podrían solucionar sin la plicación de los números complejos. OPERACIÓN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 0 Suma: Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número compleJ0. Sean zl = al + bliy z2 = a2 + b21 dos números complejos. Entonces la suma de zl con 72, denotada por zl + 72 es el numero complejo zl + z2 = (al + a2) + (bl + b2)i. Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como: a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades: • Conmutativa: Dados dos números complejos a + biy c + di se tiene la igualdad: (a + bi (c + di) = (c + di ) + (a + bi ) • Asociativa: Dados tres complejos a + bi, c + diy e + fi , se cumple: • Elemento neutro: Es 0+ Oi , puesto que: (a + (Ji) = (a + O) i (b O) a + bi El número 0 + Oi se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero». ?? Elemento simétrico: El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (-a bi (a + bi ) + (-a – bi) = 0 + Oi = 7 OF 0 Resta: O diferencia de d pleios se realiza números complejos, entonces la diferencia o resta entre Z y W viene dada por Z — W = (a — c) + (b — Es decir, para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — 0 Multiplicación: Se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como: a + bi ) (c + di ) = (ac – bd) + (ad + bc)i El producto puede hacerse operando con i como si fuese un numero real y teniendo en cuenta que i 2 -1 . a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad bc) + bd(-l) – ac – bd + i (ad + bc) Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto. Puede hacerse de dos maneras; o bien se aplica directamente la formula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución 2 –

La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades: • Conmutativa: Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que: (a + bi ) (c + di ) = (c + di ) ( 80F • Asociativa: Dados los co , c + di fi se cumple elemento neutro del producto es 1 + O ‘i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + O • i) = (a + bi)• 1 = a + bi . El elemento neutro es el uno. ?? Distributiva del producto con respecto a la suma: Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple: (a + bi ) [(c + di ) + (e + fi = (a + bi ) (c + di) (a bi ) (e fi ) El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo. El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, O. ?? Elemento simétrico respecto del producto: Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de O + Oi , existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1+01 Demostración: Se intentará calcular el inverso de a + bi , x + yi . Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) (a + ) = (ax – by) (ay bx)l Por tanto ha de ser: x – 1, multiplicando por a se tiene: a2x – aby = a bx + ay = O, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = O El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos. División: Primero se multiplica Z por el conjugado de W y este resultado se divide entre el modulo al cuadrado de W, el cual es un numero real. Si hacemos Z a + bi y W c + di, tendremos Z W = (ac + bd) + (bc — ad)i a 2 + b 2 Ejemplo. Sea Z = 3+ 4iyW 2+ 3i. Entonces ZW = 3 + 4i 2 + 3i 2 – 3i 2 – 3i = (6 12) + (-9 + 2 lli Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de ést or el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados CONCLUSION Al finalizar este trabajo, llegamos a la conclusión, que los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene, además se designa con la letra . Estos números incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real e la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. ?lgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, importancia. Finalmente estos números se utilizan continuamente en matemáticas, en muchos campos de la ffsica (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingenier(a, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. BIBLIOGRAFIA 0 DF 10 http://es. wikipedia. org/wi ero_compleio