La polcia y el maltrato del menor

TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL TRANSFORMACIONES LINEALES PRESENTADO POR: HERNANDEZ TRUJILLOS ANDREINA MENDOZA ARAUJO ANA MARIA RODRIGUEZ SUAREZ ARIANMY VILLAZON ALFARO YELITZA PRESENTADO A: LIC. JHONNY RIVERA FACULTAD DE INGENIERIAS INGENIERIA AMBIENTAL Y SANITARIA UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR NOVIEMBRE 2009 TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICION: Funciones que transforman o mapean un espacio vectorial V en un espacio vectorial W. este tipo de funciones se denota por T: V > W Para estas funciones se utilizan la notacion estandar de ellas por ejemplo V se llama dominio de T. si v esta en V y w esta en W de modo que T (v) = w

Entonces w se llama imagen de v bajo T. el conjunto de todas las imagenes de los vectores en V se llama contradominio de T y el conjunto de de todos los v tales que T (v) = w se llama preimagen de w. V: Dominio Contradominio T: V-(W W Observacion: para un vector v= (v= (v1, v2,……, vn) en Rn, seria tecnicamente correcto usar un doble parentesis para denotar T (v) como T (v)=T((v1, v2,….. vn)). Por conveniencia, sin embargo, se elimina un conjunto de parentesis, quedando T (v)= T(v1, v2,……vn) DEFINICION DE TRASNFORMACION LINEAL Sean V y W espacios

Lo sentimos, pero las muestras de ensayos completos están disponibles solo para usuarios registrados

Elija un plan de membresía
vectoriales. La funcion T: V( W se llama transformacion lineal de V n W si las dos propiedades siguientes son verdaderas para todo u y v en V y para cualquier escala c. 1. T (u + v)= T (u) + T (v) 2. T (cu)= cT (u) Se dice que una transformacion lineal conserva operaciones porque se obtiene el mismo resultado si las operaciones de suma y multiplicacion escalar se efectuen antes o despues de que aplique la transformacion lineal, aunque se utilizan los mismos simbolos para denotar las operaciones vectoriales tanto en V como W, debe observarse que las operaciones pueden ser diferentes, como se indica en el siguiente diagrama: [pic] T(u + v) = T(u) + T(v) T(cu) = cT(u)

COMPROBACION DE UNA TRANSFORMACION LINEAL DE R2 EN R2 Demostrar que la funcion dada es una transformacion lineal de R2 en R2 T (v1, v2) = (v1 – v2, v1 + 2v2) SOLUCION: para demostrar que la funcion T es una transformacion lineal es necesario demostrar que conserva la suma y la multiplicacion escalar. Para esto, sean v= (v1, v2) y u= (u1, u2) dos vectores en R2 y sea c cualquier numero real. Entonces, con las propiedades de suma vectorial y de multiplicacion escalar, se tiene lo siguiente: 1. Dado que u + v = (u1, u2)+ (v1, v2)= (u1 + v1, u2 + v2), se tiene T (u + v) = T (u1 + v1, u2 + v2) = ((u1 v1) – (u2 + v2), (u1 + v1) + 2(u2 + v2)) = ((u1 – u2) + (v1 – v2), (u1 + 2 u2) + (v1 + 2 v2)) = (u1 – u2, u1 + 2 u2) + (v1 – v2, v1 + 2v2) = T(u) + T(v) 2. Dado que cu = c(u1, u2) = (cu1, cu2), se tiene T (cu) = T (cu1, cu2) = (cu1 – cu2, cu1 + 2cu2) = c (u1 – u2, u1 + 2u2) = cT (u) Por consiguiente, T es una transformacion lineal. OBRSERVACION: Para una transformacion lineal T: V ( V es un espacio vectorial en si mismo (como por ejemplo 2) se llama operador lineal. La mayoria de las funciones comunes estudiadas en Calculo no son transformaciones lineales. Ejemplo: Algunas Funciones que No son Transformaciones Lineales . f(x) = sen x no es una transformacion lineal de R en R, porque en general sen (x1 – x2) ? sen x1 + sen x2 Por ejemplo, sen [(? /2) + (? /3)] ? sen (? /2) + sen (? /3) b) f(x) = x2 no es una transformacion lineal de R en R, porque en general (x 1 + x2)2 ? x12 + x22 Por ejemplo, (1 + 2)2 ? 12 + 22 2. f(x) = x + 1 no es una transformacion lineal de R en R porque f(x 1 + x2 ) = x1 + x2 + 1 En tanto que f(x 1)+f( x2 ) = (x1 + 1) + ( x2 + 1) = x1 + x2 + 2 Asi, f(x 1 + x2 ) ? f(x 1)+ f( x2) OBSERVACION: la funcion del ejemplo anterior indica dos usos del termino no lineal.

En Calculo, f(x) = x + 1 se llama funcion lineal porque su grafica es una recta. Sin embargo, no es una transformacion lineal de espacio vectorial R en R porque no conserva ni la suma ni la multiplicacion escalares. Dos transformaciones lineales simples son la transformacion cero y la transformacion identidad, que se define como sigue: 1. T (v) = 0 para todo v Transformacion cero (T: V ( W) 2. T (v) = v para todo v Transformacion identidad (T: V ( V) La transformacion lineal del ejemplo de una transformacion lineal R2 en R2 Tiene la propiedad de que el vector cero se transforma en si mismo.

Es decir, T(0)=0 , esta propiedad es verdadera para todas las transformaciones lineales, como se plantea en el siguiente teorema: PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Sea T una transformacion lineal de V en W, donde u y v estan en V. Entonces las propiedades siguientes son verdaderas: 1. T(0) = 0 2. T(- v) = – T(v) 3. T(u – v) = T(u) – T(v) 4. Si v = c1v1 + c2v2 +…. + cnvn , entonces T(v) = T(c1 v1 + c2 v2 + ……… + cnvn) = c1T( v1 ) + c2 T(v2) + ……… + cn T(vn) Demostracion: para demostrar la primera propiedad, observe que 0v = 0. Entonces. Se concluye que: T (0) = T (0v) = 0T (v) = 0

La segunda propiedad concluye de –v = (-1) v, que implica que T (-v) = T [(-1)v] = (-1) T (v) = – T(v) La tercera propiedad se concluye de que u – v = u + (-v), que implica que T (u – v) = T [u + (-1)v] = T (u) + (- 1) T (v) = T(u) – T (v) Si T( v1 ), T(v2), …….. , y T(vn) estan definidos para una base (v1,v2)…… vn entonces T(v) esta definida para cualquier v en V. Una transformacion lineal debe cumplir las cuatro condiciones del teorema. Se concluye que si una funcion T no satisface cualquiera de las propiedades, entonces la funcion no es una transformacion lineal. Por ejemplo, la funcion dada por:

T(x1, x2) = (x1 + 1, x2) No es una transformacion lineal porque T(0,0) ? (0,0). El siguiente ejemplo se usa una matriz para definir una transformacion lineal de R2 en R3 . el vector v= (v1, v2) se escribe en forma material como: v1 v= v2 de modo que es posible multiplicarse a la izquierda por una matriz de orden 3 x 2. NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL IMAGEN La imagen de una funcion es el conjunto de las imagenes de los elementos del dominio. Si T es una transformacion lineal del espacio vectorial E en el espacio vectorial F, su imagen se denota: Im(T) = T(E) = [T(x); x ? E]

Im(T) no es necesariamente igual al conjunto de llegada: esta claro que (1,0,0) no es imagen de ningun elemento de R2 Si y es un elemento de la imagen de una transformacion lineal T, existe en E un vector x tal que: y = T(x). Entonces cualquiera sea el real ? , ? x es un elemento de F y: ?y = ? t(X) = t (? x) ? Im(T) De manera similar, se demuestra que la suma de dos elementos de Im(T) pertenece tambien a Im(T). En consecuencia, la imagen de una transformacion lineal es un subespacio vectorial del espacio de llegada. La dimension de este subespacio es el rango de la transformacion lineal.

Es facil verificar que los rangos de las transformaciones lineales de los ejemplos anteriores . NUCLEO El nucleo de una transformacion lineal (TL) tambien es un subespacio vectorial pero, esta vez, del conjunto de salida. La demostracion es similar a la que se hizo en el caso de la imagen. Si x y x’ pertenecen al nucleo de una TL. T: T(x) = 0 T(x’) = 0 T(x+x’) = T(x) + T(x’) = 0 + 0 = 0 La suma de dos elementos del nucleo pertenece al nucleo. Se demuestra de la misma manera que si x ? Ker(T) entonces ? x ? Ker(T), cualesquiera que sean el vector x de E y el numero real ?.

En resumen se pueden enunciar estos resultados: Una transformacion lineal es inyctiva si solo si su nucleo solo contiene el vector nulo: T es inyectiva < = > Ker(T) = {0} Una transformacion lineal es inyectiva si y solo su imagen es igulal al espacio de llegada: T es inyectiva < = > Im(T) = F Ejemplos: En el ejemplo anterior; T: R3 > R2 (x,y,z,) > (3x-4y-z, x-y+z) Ker(T) = { (x,z,y) ? R3; 3x-4y-z= 0 y x-y+z = 0 } = { t(5,4, -1); t?? R} El nucleo de T es el SEV generado por el vector (5,4, -1) y su dimension es 1 LA TRANSFORMACION LINEAL DEFINIDA POR UNA MATRIZ Sea A matriz m x n.

La funcion T definida por: T(v) = Av Es una transformacion lineal de Rn en Rm . para conformar la comunicacion matricial con una matriz m x n, los vectores en Rn se representan por matrices de n x 1 y los vectores en Rm se representan por matrices m x 1 OBSERVACION: la matriz cero m x n corresponde a la transformacion cero de Rn en Rm y la matriz identidad I n n x n corresponden a la transformacion de Rn en Rm . Asegurese de comprender que una matriz A m x n define una transformacion lineal de Rn en Rm a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n v1 a11v1+a12v2 +…. + a1nvn 2 a21v1+a22v2 +…. +a2nvn Av= = . . . . . . . . . . . . am1v1+am2v2 +…. + amnv n . a11 a12 …. a1n v n TRANSFORMACIONES LINEALES DADAS POR MATRICES La transformaciones lineal T: Rn ( Rm esta definida por T(v) = Av. Determine la dimension de Rn y de Rm para la transformacion lineal dada por las siguientes matrices: a) A = 0 1 -1 b) A= 2 -3 c) A= 1 0 -1 2 2 3 0 -5 0 3 1 0 0 4 2 1 0 -2

Solucion: a) Dado que el orden de esta matriz es 3 x 3, define una transformacion lineal de R3 en R3 0 1 -1 v1 u1 Av= 2 3 0 v2 = u2 4 2 1 v3 u3 [pic]b) como el orden de esta matriz es 3 x 2, define una transformacion de R2 en R3 c) dado que el orden de esta matriz es 2 x 4, define una transformacion de R4 en R2 BIBLIOGRAFIA Texto: Introduccion al Algebra Lineal Algebra Lineal Interactiva ———————– v w T Suma en V Suma en W Multiplicacion escalar en V Multiplicacion escalar en W Vector en Rn Vector en Rm Vector en R3 Vector en R3