Integral de línea
Integral de línea gyuiznellg I $eopa,1R 10, 2016 7 pagcs República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universidad «Fermín Toro» Facultad de ingeniería Cabudare-EDO-Lara Integrales or7 to View nut*ge Prof: Integrantes: Jetsica valecillos Marturet Alvarez 26. 085. 548 Integral curvilinea Maikel Juan Trayectoria de una particula a lo largo de una curva dentro de un llamada, integral de trayectoria), parametrizada comor(t)—x(t)i+y(t)j con t [a, b], está definida como: Dónde: r: [a, b] C es una parametrización biyectiva arbitraria e la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t). Integral curvilínea de un campo vectorial para F : Rn Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t [a, b], está definida como: donde es el producto escalar y r: [a, b] C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que (a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es: ntonces la derivada de la función composición de G y r(t) es: con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera: La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b)y r(a) y es independiente del camino entre ay b. Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también consewativo.
Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial V. Y por lo mencionado anteriormente la ntegral de línea del campo es independiente del camino. Integrales de Superficie La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemannclásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.
Integral de superficie de un campo escalar Se define la integral de superficie como: Sea una función continua definida en la superficie cuya parametrización está dada erficie tiene como 31_1f,• dominio la región en el pla ces establecemos la sta definición proviene del hecho de que una integral doble «clásica» de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medldas dx y dyy efectuando la sumatoria de los productos en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente.
Como puede observarse, dx•dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por dA. Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los uales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos f(x,y,z)•dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelógramo formado por sus vectores tangentes de longitudinfinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos vectores cuya norma es igual al área de dicho paralelógramo, por lo tanto, .
Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área. 2 Integrales de superficie de un campo vectorial Definimos la integral de superficie de un campo vectorial bajo condiciones similares al caso antenor, de la siguiente forma:3 Las componentes del vector pueden escribirse como determinantes jacobianos de la siguiente forma:4 por lo tanto, SI , la integral de superficie puede escriblrse como: Esta notación es fácilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales mbargo, nótese que en dicha notación el orden de cambio de variable para integrales dobles.
Sin embargo, nótese que en dicha notación el orden de los símbolos dx, dy odz es importante, ya que ,5 por lo que, por ejemplo: La integral de superficie de un campo escalar y la integral de superficie de un campo vectorial están conectadas mediante la identidad: n la cual, es un vector unitario normal a la superficie S Teorema de Green En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de [nea alrededor de una curva cerrada simple Cy una integral doble sobre la región plana Dlimitada par C.
El teorema de Green se llama asi por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma: Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región bierta que contiene D, A veces la notación por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de Julio de 1850. 23 Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea uj una forma diferencial en M de grado n-l y de clase Cl. Si M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.
El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma w se define. El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. ?sta es la ase para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de deRham Teorema de Gauss En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, teorema de Gauss- Ostrogradsky, teorema de Green-ostrogradsky o teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.
Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos os sumideros da el flujo de salida neto de una región. Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes. Sean y dos subconjuntos abiertos en donde es simplemente conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos Y cerrada. Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de prmer orden continuas. Entonces: donde el vector normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen .
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemánCarl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la smilitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de laradiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.
