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7. 6 ARBOLES Y ARBOLES DE EXPANSION 7. 6. 1 . – introduccion Unos de los grafos mas importantes son los grafos de arbol, y una de las formas mas especiales son los arboles de raiz junto con el arbol de analisis de las proposiciones , tambien son utilizados en los recursivos. Ademas de que se utilizan en muchos otros casos, por ejemplo en la computacion se utiliza para la organizacion de la informacion de modo que se pueden efectuar operaciones de la informacion, tambien es facil de utilizar para la organizacion de la informacion al momento de desglozarla.

Redes de comunicacion, esta se utiliza en todas las redes para acomodar la informacion. 7. 6. 2. – arboles libres Existen dos grandes ramas de los arboles una de ellas son los arboles libres y la otra son los arboles de raiz, los arboles libres son los que no estan dirijidos, por todo lo contrario los arboles de raiz son los que estan dirigidos a la informacion de la computacion y de cualquier otro lugar que se ocupe. Arbol libre: es un grafo sencillono dirigido tambien es conexo. Demostracion: se formula una demostracion inductiva sean n=1 para la base.

La hipotesis supone que si

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el arbol de k vertices debe de tener k-1 bordes. Y por logica debe de ser un arbol con k+1 nodos y contiene k aristas, al igual que si se observa que cualquier arbol que tenga al menos 1 arista debe de contener 2 nodos con grado 1. 7. 6. 3. – arboles de expancion Uno de los problemas mas importantes que esta muy asociados a una red presentada por grafos, esta serie de arboles de expansion debe de tener todos los nodos del grafo y algunas de sus aristas, para asegurar su conectividad. Definicion:

Es un grafo convexo no dirigido G=(N,A) con un conjunto de nodos N que es un subgrafo de G, esto es un arbol aciclico y contiene N como nodos y A de aristas. existen muchos enfoques para formar un arbol de expansion segun el grafo dado , un enfoque consiste en ir eliminando los aristas asta que ya no quede ninguno de sus ciclos, si solo se eliminan las aristas de los ciclos se convertira en convexos y esto es realmente indispensable para crear un arbol. Ademas un enfoque alterno es posiblemente mas eficiente para generar un arbol de expansion y para sacar el numero de sucesion que tiene es el n-1.

Ademas un arbol que empiece con un nodo dera origen a un arbol cuya raiz sea v1, si se ignora el nodo raiz y la direccion del los nodos dirigidos es un arbol libre y la elaboracion de un arbol libre debe de llevarlos BFS que incluyen los nodos v2, v5 y v6, con esto se supone que el arbol debe de ser adyacente para que con los arcos se vallan a parar en los nodos vq y v7. Tambien se puede obtener un arbol de expansion si se realiza una busqueda en lo mas profundo de un grafo. Dado que los grafos dan lugar a los arboles de raiz.

Acontinuacion de hablara de un arbol que fue realizado de uno en uno los nodos y que con el conjunto de estos se va ir quitando cada uno de las aristas de manera que se quede el arbol de una manera aciclica, los nodos se concideran como nodos en cada uno de los casos de la iteracion. Supongase de nuevo que el grafo dado es el de la Figura 7. 49a, y que el nodo inicial es v,. Inicialmente, Nodos contiene el nodo vp y no se ha seleccionado ninguna arista. Comenzando en Vj, se desea seleccionar una arista que una a v} con algun otro nodo de Resto, que en este momento es el conjunto {v2, v3, v4, vs, v6, v? . En este momento hay varias opciones posibles: las aristas {Vj, v2}, {Vj, v5) y {Vj, v6}. En este seguimiento se tomara la determinacion basada en el orden numericamente creciente de indices de nodos, hasta que se hayan seleccionado todas las aristas que preserven la aciclicidad del subgrafo. Por tanto, se selecciona v2 y la arista {Vj, v2}, dando lugar a los cambios Nodos = (vp v2} y Aristas = {(v,, v2}}. Hay que senalar que en la practica es probable que se utilice un orden aleatorio de seleccion.

A continuacion se selecciona v5 y la arista {Vj, v5}, y despues vg y la arista {vt, v6}. Llegados aqui, no es posible seleccionar nada mas desde el nodo v,, y Nodos = {Vj, v2, v5, v6} y Aristas = {{v15 v2}, {vp v5}, {vp v6}} A continuacion se estudia el nodo v2. Las aristas que se podrian seleccionar son {v2, v3} y {v2, v? }. Observese que la seleccion tanto de la arista (v2, v5} como de la arista (v2, vg} daria lugar a un ciclo en el subgrafo que se esta construyendo. Se selecciona el nodo v3 y el arista (v2, v3} y despues vy y (v2, v? }.

Otra cuestion que surge es la consistente en considerar lo que sucede cuando el procedimiento ConstruirArbolExp recibe como entrada un grafo que no es conexo. En tal caso, no existe un arbol de expansion para el grafo. Sin embargo, para un grafo que no sea conexo, se puede descomponer el grafo en sus componentes conexos. Recuerdese de la Seccion 7. 2 que un componente conexo es un subgrafo conexo maximal, eso es, un subgrafo que no es un subgrafo de ningun otro subgrafo de un grafo dado. Se puede hallar un arbol de expansion para cada uno de los componentes del grafo.

La coleccion de arboles de expansion correspondientes al grafo es lo que se denomina un bosque de expansion. Ademas el objetivo principal alo largo de esta seccion ha sido la de hallar un arbol extendido para un grafo conexo en donde todo tenian como clase 1. 7. 6. 4 arboles de expansion minimos Existen varias aplicaciones que se estructuran mediante estructuras de grafos, la mayoria de aristas tiene asociado un coste o etiqueta, un ejemplo es la aplicacion para que unas lineas aereas, y los nodos sean las ciudades, y que el envio de paquetes o cualquier otra cosa sea un coste. l problema consiste en tener un arbol de expansion minima, que minimizara los costes de las operaciones, estos asu ve pueden ser puntos de calculos de las redes y las aristas pueden ser la distancia que ay de separacion entre cada una de las lineas. este arbol de expansion minimo representa una situacion en la cual se estan minimizando los costes de comunicaciones. Esta nocion nos lleva a la definicion siguiente. Definicion; Un arbol de expansion de un grafo ponderado conexo y no dirigido en el cual la suma de los costes de sus aristas sea minima se denomina arbol de expansion minimo.

El primer enfoque para la creacion de un arbol de expansion minimo eta basada en el procedimiento ConstruirArbolExo descrito en el libro, teniendo en cuenta los costes de cada una de las aristas en un principio las aristas comienzan la realizacion de algoritmos y sus nodos asociados como parte integral del arbol deseado. Se examinara brevemente la eficiencia del metodo de Prim. En donde el primer paso es O(m)npor que es el precio de seleccionar una arista de coste minimo, el bucle del paso dos repite n dos veces para obtener un arbol extendido de n-1 bordes, en cada una de las intercexiones se realzanun coste de aristas minimo.