induccion Matematica

Introducción El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea: A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas».

Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algun sentido de los números naturales es conocido con el p nombre de Inducción Esta dependencia de una determinada afir particulares y surge I OF4 num ral Igniflca: se sabe que ra algunos casos ión sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restante El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por ky finalmente por k+l Pasos: 1. Se demuestra que 1 cumple con la propiedad 2. Se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número n (arbitrario) cierta para n, debe serlo para n+l). La idea de la Inducción es muy lara: si un número cumple algo, y si cuando un número cumple el siguiente tiene

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que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen. ducción Matematica Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si: (i) 1 satisface a P y, (ii) k pertenece a los Naturales, k satisface PD (k+l) satisface p, entonces todos los números naturales satisfacen P. Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales. Procederemos de la siguiente manera: (i) Verificaremos la proposición para el numero 1. ii) Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción). (iii) Demostraremos la proposición para el numero natural (k+l). Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales. ni = Ejemplo 1: proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que: 1*2+3+.. . .. +k – k(k+l). (Hipótesis de inducción). 2 (iii) Demostremos que k- 1 también satisface la proposición (*), es ecir, demostremos que: I +2+3 Demostración: (1+2+3+…… . +k+(k+l) _ k(k+l) + (k+l) uego la proposición (*) es verdadera En perteneciente a los En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un ky finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k 1) 3 4 3c Por demostrar valido para n = = (k+1)2 (k+l se reemplaza termino igual al de arriba (k+2)2 k esto se debe demostrar + (k+l)3 (k2 + (k+l) = Q +4(k+1) = (k+l (k+2)2 Ejemplo 3: = (k+1)2 = (k+1)2 (k2 +4k+4) Demuestre usando inducción que: … + 2n = n(n+l) 2+4+6 + 2 i = n(n+l)