Historia Algebra Moderna

APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL. 1, NO. 3, SEPTIEMBRE 2002 EL DESARROLLO DEL ÁLGEBRA MODERNA Parte l: El álgebra en la antigüedad. Guillermo Dávila Rascón „ en matemáticas, los grandes progresos han estado siempre ligados a progresos en la capacidad de elevarse un poco más en el campo next pase de la abstracción. Jean Dieudonnél 1. INTRODUCCIÓN El álgebra moderna, conoce, tiene un pap importante dentro d quienes lo comparan función que la mate 6 s mat co también se le mporáneas que hay peña en las ciencias, en las que ha probado ser de gran utilidad.

Nos referimos a sus aplicaciones a la física, a a química, a la biología, a la economía, etcétera, para las cuales, la matemática es parte fundamental de sus desarrollos modernos, en algunos de los cuales, las nuevas teorías algebraicas han tenido un papel protagónico (ver [1, pp. 57-58, 261-262]). En este escrito abordaremos algunos de los más importantes episodios que han dado forma al álgebra, tal como la conocemos actualmente, y veremos que está muy alejada de la antigua idea según la cual «El algebra es, propiamente hablando, el análisis de álgebra es mucho más que eso.

De hecho, en las primeras décadas del

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siglo XIX se dió un movimiento lidereado or varios matemáticos ingleses que tenía como propósito dotar al álgebra de un marco axiomático, similar al de la geometría euclidiana. Esto propició el surgimiento de una multitud de nuevas estructuras y teorías algebraicas que revolucionaron las viejas concepciones y marcaron el camino a seguir para los desarrollos futuros del álgebra moderna.

Por otro lado, debemos advertir que ésta no es una historia exhaustiva de todo ese movimiento creador pues el espacio nos impone limitaciones, sin embargo, pondremos énfasis en ciertos aspectos que nos ayudarán a comprender la relevancia del álgebra en las atemáticas modernas. Además, hemos dividido el documento en tres partes: En la primera de éstas tocamos algunos aspectos de las matemáticas egipcia, babilónica y griega, a los que podríamos calificar como de tipo algebraico, aunque cada uno de ellos de índole muy distinta, como se verá en las siguientes secciones.

Esta primera parte abarca un período que empieza aproximadamente en 1600 a. C. y termina alrededor del arlo 600 d. C. ; en esta etapa podemos hablar de una pre-álgebra pues aún no se toma conciencia del álgebra como Ver p. 43 5 36 hablar de una álgebra aritmética y en el caso de Grecia de una ?lgebra geométrica). En ambas situaciones, encontramos problemas muy específicos que podríamos llamar algebraicos y para los cuales tenían métodos de solución que son equivalentes a resolver ciertos tipos de ecuaciones algebraicas y que abordaremos más adelante. n desarrollo mucho más consciente y profundo en lo que se refiere al estudio de ecuaciones algebraicas es llevado a cabo por los matemáticos árabes, quienes preservan, aprehenden y cultivan las ciencias que provienen de fuentes babilónicas, hindúes y griegas. Si bien la matemática árabe tiene su periodo de máximo esplendor entre los siglos IX y XI, u influencia se percibe en Europa hasta muy entrado el Renacimiento, por lo que los matemáticos europeos continúan el estudio de las ecuaciones hasta las primeras décadas del siglo XIX.

Así, esta etapa la podemos identificar con la idea expuesta por Serret: El álgebra ligada a la resolución de ecuaciones, y nos ocuparemos de estos aspectos en la segunda parte del documento. Finalmente, en la tercera parte hablaremos sobre los desarrollos modernos del álgebra que se Inician con el surgimiento del álgebra simbólica en Inglaterra y que logran un triunfo significativo con la labor de axiomatización del álgebra por parte e la escuela alemana hacia la mitad del siglo XX.

Es en este período donde se marcan las tendencias modernas del desarrollo algebraico, I entran en una idea fundamental: el concepto las cuales se centran en una idea fundamental: el concepto de operación o ley de composición, del cual Bourbaki afirma ser uno de los conceptos más primitivos en matemáticas [3, p. 74]. Esperamos que con este estudio introductorio sobre la evolución del álgebra, el lector se logre dar una idea del poder del ésta.

No debemos olvidar, por otro lado, que una característica distintiva de las matemáticas es u gran unidad, es decir, es imposible hablar de áreas que evolucionen de manera aislada, o como lo dice David Hilbert : «La matemática es en mi opinión un todo indivisible, un organismo cuya vitalidad está condicionada por la conexión de sus partes… » [19]. Por lo tanto, el desarrollo de una área necesariamente marca su impacto en las otras y todas se retroalimentan entre sí.

En particular, el álgebra no es ajena a esta tendencia y a lo largo de su desarrollo es posible observar su influencia en otras ramas de la matemática y cómo se ha visto beneficiada por los desarrollos de éstas. Sin embargo, a pesar de que sería muy ructífero asomarnos un poco a este proceso no nos es posible revisar en este documento esas conexiones del álgebra con otras áreas y sólo le pedimos al lector tener en cuenta que el álgebra no ha evolucionado de forma aislada y es posible notar su presencia en la matemática toda. En la actualidad se tienen bastantes evidencias que nos muestran que al menos desde 1 600 a. C. varios de los pueblos que habitaron la Mesopotamia resolvían problemas concretos que involucraban ecuacio s de 4 36 habitaron la Mesopotamia resolvían problemas concretos que involucraban ecuaciones algebraicas de primero, segundo y ercer grados. Por problemas concretos nos referimos a que su matemática tenía un fin utilitario solamente y no se desarrolló como una ciencia autónoma, como sí ocurrió en la antigua Grecia, aunque en este caso fueron la Geometría y la Aritmética (entiéndase Teoría de Números) las que lograron un alto nivel de desarrollo con respecto a las matemáticas de las civilizaciones que les precedieron. APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁ ICAS Es en el declinar de la matemática griega, aproximadamente del 250 al 600 d. C. , cuando se retoman las antiguas tradiciones de los calculistas de la Mesopotamia y surge de nuevo el interés por la resolución de ecuaciones. Notemos que en ese periodo el Imperio Romano ya tenía siglos de haberse establecido como la fuerza avasalladora de Europa y Oriente Medio, imponiendo su ley en esas regiones.

Sin embargo, la matemática no fue especialmente cultivada por esa civilización, y en general la ciencia, como la concebían los griegos, fue puesta en segundo término por los romanos. La caída de Roma en el año 476 de nuestra era marca el inicio de la Edad Media, pero esto no significa el fin de la civil’ a pues el nuevo centro s 6 del poder viene a ser omo la religión oficial, la cultura hegemónica subyacente es la romana, aunque nace un nuevo imperio, el Bizantino. Por otra parte, un nuevo movimiento político-religioso se gestaba en el Medio Oriente con el nacimiento del Islam (alrededor de 622 d. es la civilización árabe la que daría un nuevo impulso, que resultó ser definitivo, al estudio de las ciencias y fueron ellos los que preservaron y cultivaron el legado de los griegos y de otras civilizaciones como la hindú. Además, gracias a que los árabes conquistaron gran parte de la peninsula Ibérica, España se convirtió bajo su dominio en un centro cultural muy importante al ue acudían eruditos de varias partes de Europa a nutrirse del conocimiento científico, lo que propicio su propagación.

De hecho, Euclides, Aristóteles, Platón, Arquímedes, Ptolomeo y muchos otros pensadores griegos fueron conocidos por los escolares medievales por las traducciones que los árabes habían hecho de sus obras y fueron estos académicos europeos los que tradujeron estas obras del árabe al latín y pudieron así ser estudiadas por las generaciones posteriores. Nos atrevemos a decir que sólo esto libró a Europa de un oscurantismo total durante la Edad Media, que termina en el año 453 con la calda de Constantinopla.

En particular, es a los árabes a quienes debemos el nombre álgebra, como veremos en la Sección 2, y fueron ellos los que introdujeron a occidente el sistema de numeración usado en la India; con el tiempo, evolucionaron hasta 6 36 convertirse en los que numeración usado en la India; con el tiempo, los numerales evolucionaron hasta usamos actualmente, pero las ventajas de este sistema posicional de base diez resultó ser fundamental para el avance de las ciencias.

Nuestra deuda para con ellos es ciertamente mucho mayor que lo implicado por estos hechos pues su ontribución a la ciencia no se limitó unicamente a la preservación y transmisión del conocimiento logrado por otras culturas sino que ellos mismos hicieron aportaciones originales en varias ramas del saber y ciertamente debemos reconocer sus logros.

El auge comercial en la Italia de los siglos XIII y XIV fue determinante para la adopción de los números indo-arábigos en occidente y junto con estos llegaron a la Europa occidental muchos de los tratados científicos de los árabes, mismos que fueron traducidos al latín por los académicos europeos, actividad ésta que tuvo lugar en los onasterios cristianos, principalmente. Fue esta revolución comercial la responsable de que se fundaran escuelas del ábaco a finales del siglo XIII.

Sin embargo, a medida que se extendía el uso de los numerales indo-arábigos se puso en evidencia que los maestros algoristas, aquellos que dominaban las técnicas de operación con estos números, superaban por mucho a los maestros abacistas cuando se trataba de hacer cálculos aritméticos. De esta manera, los 7 APUNTES DE HISTORIA D TICAS 7 36 2002 comerciantes adoptaron su uso y desempeñaron un papel determinante en la propagación de este nuevo sistema.

El álgebra de los árabes encajó perfectamente en este ambiente pues estaba orientada a resolver problemas por métodos aritméticos que involucraban, en la mayoría de los casos, ecuaciones lineales (primer grado) y cuadráticas (segundo grado). Muchos de esos problemas trataban sobre la repartición de herencias, transacciones comerciales, medida de terrenos, etcétera (lo que los hombres constantemente requieren „ en todos sus tratos entre ellos… ). Así, el álgebra se convirtió en una herramienta indispensable para los comerciantes; ya para el siglo XIV los que antes eran los maestros del ábaco se onvirtieron en algebristas y además fueron capaces de hacer contribuciones originales en esta área. Algunas de esas aportaciones tenían que ver con la solución de ecuaciones cúbicas (tercer grado) y bicuadráticas (cuarto grado) particulares, relacionadas con problemas prácticos muy específicos.

Esto llevó de forma natural a la búsqueda de métodos que funcionaran para cualquier tipo de ecuación cúbica o de cuarto grado, pues el álgebra árabe ya había dado cuenta de los distintos tipos de ecuaciones de cuadráticas y se tenían métodos generales para resolverlas, que consist(an en completar el cuadrado. Aquí debemos señalar que el álgebra en esta época era de carácter retórico p que estamos la notación simbólica a la 36 acostumbrados; además, las soluciones de una ecuación sólo podían ser positivas o cero pues no se tenía idea de los números negativos, que fueron introducidos hasta mucho tiempo después.

Damos un ejemplo para ilustrar este punto, el cual está tomado del libro de álgebra de al-Juarismi, del cual hablaremos más adelante: El siguiente es un ejemplo de cuadrados y raíces3 iguales a números: un cuadrado y 10 raíces son iguales a 39 unidades. La cuestión en este tipo de ecuación es como sigue: ?Cuál es el cuadrado que combinado con diez de sus raíces dará una suma total de 39? La manera de resolver este tipo de ecuación es tomar la mitad de las raíces ya mencionadas. Ahora, las raíces del problema son 10.

Por lo tanto, toma 5, que multiplicado consigo mismo da 25, una cantidad que agregas a 39, y lo cual da 64. Habiendo tomado entonces la raiz cuadrada de esto la cual es 8, resta de esto la mitad de las raíces, 5, lo que deja 3. El número 3 representa por tanto una raíz de este cuadrado, mismo que es, por supuesto, 9. Nueve por lo tanto da ese cuadrado. Notemos que la forma de proceder de al-Juarismi para resolver ste problema es completar el cuadrado perfecto. En efecto, si traducimos este problema y su solución a nuestra moderna notación simbólica vemos que en él se pide resolver la ecuación x 2 10 x 39 para x 2 .

Procedemos de la siguiente manera: completamos el trinomio, x 2 10x( 12 10)2 39 ( 12 10)2 , lo cual nos da x 2 10x 25 64, esto es, (x 5) 282, por lo que x 5 cual nos da x 2 10x 25 64, esto es, (x 5) 282, 8. Así, x 853 por lo tanto, x 2 9. por otra parte, es oportuno señalar que no se confiaba en estas soluciones si no estaban justificadas geométricamente pues el álgebra en ese tiempo no ra concebida como una 2 Tomado del Prólogo del libro Hisab al-jabr Wal-muqàbalah del matemático árabe Mohammed ibn Musa, al-Juarismi. Por cuadrado se refiere al área de un cuadrado y una raíz significa el lado del cuadrado. 8 APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMATICAS rama independiente de las matemáticas y la única ciencia segura, enteramente deductiva, era la geometría, lo cual se pone de manifiesto en los Elementos de Euclides, que los matemáticos árabes conocían muy bien y que eran el paradigma a seguir por todo ciencia. Así, el álgebra conocimiento que preten 0 DF 36 árabe posteriormente el