Funciones Vectoriales

FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector, donde las funciones componentes f, gy h son funciones del parámetro t con valores reales. Se representan tanto en el plano (r2) como en el espacio (r3) de la siguiente manera: r r(t) = f(t)i + Plano r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k Espacio En el caso de ser una se representarían ta plano como en el es r(t) = , g(t) , h(t)> PACE ial mismas funciones Cada coordenada depende del valor que le demos al parámetro t, en otras palabras, cada una está en función de t. X = f (t), Y = g(t) , Z – h(t)

Si a cada punto de la recta le asignamos un vector de posición, ( r = xi + yj +zk así tendríamos un vector para cada valor de t, o sea que «r» es a su vez una función de «t». Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la

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ecuaciones paramétricas, como muestra la figura La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.

Ejemplo 1: para la recta con ecuaciones paramétricas: Z=2+3t La sustitución de los valores dado al parámetro ‘t’ de la función vectorial se desarrollaría de la siguiente manera: Parámetro (t) r(t) Punto -2 -3i+5j-4k – +4j-k asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C. PARAMETRIZACION Las ecuaciones paramétricas de una recta L que pasa por un punto p (x , y, z) en el espacio y es paralela a un vector v {a, b, c}, cuando v es distinto a Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores r – ro y v son paralelos de modo ue r- ro es un múltiplo escalar de v, esto es, r- rOtv.

En consecuencia, una función vectorial de la recta L está dada por r(t) – ro + tv. Esta última ecuación se expresa en las formas alternas Si: son los vectores deposición de dos puntos distintos, entonces podemos considerar Una función vectorial de la recta que pasa por los dos puntos es r(t) = ro + t(rl ro) o r(t) = (1 – t)ro + tri. Ejemplo 1 Encuentre una función vectorial para el segmento de recta del punto PO(3, 2, -1) al punto Solución: Los vectores de posición correspondientes a los puntos dados son ro {3, 2, -1} y r 1 {1, 4, S}.

Entonces, una función vectorial para el segmento de recta es donde Ot 1. La gráfica de I eliminar el parámetro t de las primeras dos ecuaciones, x2 +Y2 = (2 cos + (2 sent)2 = 22 notamos que un punto sobre la curva está en el cilindro circular x2 y2 4. Como se puede ver en la figura y la tabla adjunta a la misma, cuando aumenta el valor de t, la curv’a se enrolla hacia arriba en una espiral cilíndrica o una hélice circular. Ejemplo 3 Grafique la curva trazada por la función vectorial r(t) 2 cos ti + 2 sen tj+ 3k.

Solución: Las ecuaciones paramétricas de la curva son las omponentes de la función vectorial x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = 3. Como en el ejemplo 1, observamos que un punto sobre la curva debe estar sobre el cilindro x2 y2 = 4. Sin embargo, puesto que la coordenada z de cualquier punto tiene el valor constante z = 3, la función vectorial r(t) traza una circunferencia en el plano 3 unidades arriba y paralelo al plano xy. LIMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL La definición de límite es análoga a la del caso real y la generaliza.

Dada una función vectorial: f: I — RAM, a El c R un punto de acumulación (es decir, que hay puntos del dominio tan cerca de a como queramos), y u RAM, ecimos que u es el [mite de f cuando t tiende a a, lim f(t) = u si ocurre que: VE > O, 35>0 tal que II < E si Como la norma en el caso RAm = R coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que norma en el caso RArn R coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que conocemos de R en R.

La noción fundamental de límite de una función vectorial r(t) — {f (t), g(t), h(t)} se define en términos de los límites de las funciones componentes. Propiedades de los límites Continuidad Equivalentemente la función vectorial r(t) continua en un número a i y sólo si las funciones componentes f, gy h son continuas en a. Encuentre el lím r(t) cuando t tiende a O, si: r(t) = (1 + t3)i + (te-t)j +(sint / t)k Solución: lim r(t) (lim 1 + t3, lim te-t, lim sint/t) = (1, 0,1) DERIVADA la siguiente definición se asume que h representa a un número real distinto de cero.

La derivada de r también se escribe dr/dt. El siguiente teorema muestra que en un nivel práctico, se obtiene la derivada de una función vectorial diferenciando simplemente sus funciones componentes. Si las funciones componentes f, gy h son diferenciables, entonces a derivada de la función vectorial r(t) está dada por d(t)— ), É(t), h'(t)} r'(0) y r'(n/6). Solución: La curva C es suave debido a que las funciones componentes de r(t) = cos 2t i sen t j tienen derivadas continuas y r(t) es distinto a O sobre el intervalo abierto (-rt 12, / 2). 2sen 2ti + cos tj. 0 En consecuencia, j Para graficar C primero eliminamos el parámetro de las ecuaciones paramétricas x = cos a y = sen x cos 2t— cos2 t- sen2 t – 1- 2 sen2 t Ejemplo 2 -1 – 2y2Cl Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C cuyas ecuaciones aramétricas son x t2, y —ü – t, z – 7t en el punto correspondiente a t = 3. Solución: La función vectorial que produce la posición de un punto P sobre la curva está dada por = t2i (t) = 2ti + (2t (t2 – t)j – 7tk. Ahora, — + g»(t)j + h»(t)k – 2t2)i +4tj + e -tk. ntonces = (3t2 – +4j-e tk Reglas de diferenciación LONGITUD DE UNA CURVA ESPACIAL La integral define la longitud L de la curva entre los puntos ( f (a), g(a), h(a)) y ( f (b), g(b), h(b)). Si la curva C se traza por medio de una función suave de valores vectoriales r(t), entonces su longitud entre el punto inicial en t ay el punto erminal en t = b puede expresarse en términos de la magnitud de r'(t): cuando, LONGITUD DEL ARCO La integral definida se llama la función de longitud de arco para la curva C.

El símbolo u es una variable de integración sustituta. La función s(t) representa la longitud de C entre los puntos sobre la curva definida por los vectores de posición r(a) y Muchas veces es útil parametrizar una curva suave C en el plano o en el espacio en términos de la longitud de arco s. Al evaluar la ecuación se expresa s como una función del parámetro t.

Si podemos resolver esa e en términos de s, arco de una hélice circular: r(t) 2 costi+2 sen tj+tk. C] El hecho de que 1 indica que r'(s) es un vector unitario. Esto no es coincidencia. Como hemos visto, la derivada de una función vectorial r(t) con respecto al parámetro t es un vector tangente a la curva C trazada por r. Sin embargo, si la curva C se parametriza en términos de la longitud de arco s, entonces: • La derivada r'(s) es un vector tangente unitario.

Para ver por qué esto es así, recuerde que la forma de la derivada del teorema fundamental del cálculo, muestra que la derivada de s con especto a t es Sin embargo, si la curva C es descrita por una parametrización de longitud de arco r(s), entonces se muestra que la longitud s de la curva de r(0) a r(s) es Curvas parametrizadas Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular.

Al vector F(t) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores P(t) y P'(t) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. De modo que la velocidad en un instante tes I y la aceleración es l. Al vector F'(t) también se le llama vector tangente a la F(t) en t, y el vector 80F11 recibe el nombre de vecto itario. vector recibe el nombre de vector tangente unitario. Ejemplo 1: ¿Qué cuma se representa mediante las siguientes ecuaciones paramétricas? = cos t, Y = sen t, O s t s 2TT Soluclón: Si se grafican los puntos, la curva parece un círculo. Esta impresión se confirma al eliminar t. Observe x2 = cosa + 1 Así, el punto x, y se mueve en el círculo unitario x2 + y2 1. Cuando t se incrementa de O a , el punto x, y cos t, sen t se mueve una vez alrededor del círculo en sentido ontrario a las manecillas del reloj, empezando en el punto 1, 0 Ejemplo 2: Hallar un vector tangente unitario a la curva z (t) = t3 en el punto donde t = 1.

Soluclón: La curva está dada como La derivada es un vector tangente a la curva, que está dada por dr(t)/dt (1, 2t, 3t2) longitud de la curva dada por la parametrización: a(t) = ti + 4/3t3/2j + htk, a’ (t) = (1, 2tl/2, 1/2), t [0, 2] La curva a es de clase C y, por tanto, es rectificable (1 +4t+ h(5+ 16t)lh La longitud de a será: CURVATURA Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar (una especie de cambio de variable), de anera que la longitud de la curva entre dos puntos ay b coincida con la longitud del intervalo con origen en ay extremo en b; en este caso se dice que la curva está paramentrizada por la longitud del arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitario Se define la curvatura como «la variación del vector tangente con respecto a la longitud del arco La curvatura viene a medir como se «tuerce» la curva respecto de su longitud. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como o bien Encuentre la curvatura de adio a. Solución: Un círculo pued or medio de una función