Funciones logaritmicas

FUNCIONES LOGARITMICAS [pic] Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logaritmicas. Como la notacion f-1 se utiliza para denotar una funcion inversa, entonces se utiliza otra notacion para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notacion f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la funcion con base b. Leemos la notacion logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresion logb(x) un logaritmo. Definicion: El logaritmo de un numero y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y.

Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y solo si y = bx. Nota: La notacion logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”. Ejemplos: 1) ? A que exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbolicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa

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que un logaritmo es un exponente. ) 2) Tambien podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota: El dominio de una funcion logaritmo es el conjunto de todos los numeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los numeros reales. De manera que, log10 3 esta definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo estan. Esto es, 3 es un valor del dominio logaritmico, pero 0 y -5 no lo son. Ejemplo para discusion: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial: [pic] Ejercicio de practica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial: [pic] Ejemplo para discusion: Expresa de la forma exponencial a la forma logaritmica: [pic] Ejercicio de practica: Expresa de la forma exponencial a la forma logaritmica: pic] Solucion de ecuaciones logaritmicas simples Ejemplos para discusion: 1) Halla el valor de x si log3 9 = x. 2) Halla el valor de b si logb 8 = 3. 3) Halla el valor de y si log2 y = 7. Ejercicio de practica: 1) Halla el valor de y si log3 27 = y. 2) Halla el valor de b si logb 100 = 2. 3) Halla el valor de x si log2 x = -3. Propiedades de las funciones logaritimicas: Si b, M y N son numeros reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son numeros reales, entonces: 1) logb 1 = 0 2) logb b = 1 3) logb bx = x 4) logb MN = logb M + logb N [pic] 6) logb Mp = p logb M ) logb M = logb N si y solo si M = N Ejemplo para discusion: Usa las propiedades para simplificar: 1) log5 1 = 2) log10 10 = 3) log10 0. 01 = Ejercicio de practica: Usa las propiedades para simplificar: 1) log10 1 = 2) log5 25 = 3) log10 10 -5 = Ejemplo para discusion: Usa las propiedades para expandir cada expresion: 1) logb 5x = 2) logb x9 = [pic] Ejercicio de practica: Usa las propiedades para expandir cada expresion: [pic] Ejemplo para discusion: Usa las propiedades para escribir cada expresion como un solo logaritmo: 1) log3 (x) + log 3 (6) = 2) log3 (24) – log3 (4) = ) log10 (x – 1) + log10 (3) – 3 log10 (x) = Ejercicio de practica: Usa las propiedades para escribir cada expresion como un solo logaritmo: 1) log10 (5) + log10 (3) = 2) log3 (x + 2) – log3 ( x – 1) = 3) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) = Logaritmos comunes y naturales Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales. Notacion: Logaritmo comun: log x = log10 x Logaritmo natural: ln x = loge x

Ejemplo para discusion: Usa la calculadora para hallar: 1) log 2 = 2) ln . 0034 = 3) log (-3. 24) = Ejercicio de practica: Usa la calculadora para hallar: 1) log 3 = 2) ln 28. 693 = 3) log(-0. 438) = El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular: [pic] Ejemplos: Usa las propiedades para expandir: [pic] Simplifica como un solo logaritmo: [pic] Ecuaciones exponenciales y logaritmicas La ecuacion 2x – 1 = 7 representa una ecuacion exponencial y la ecuacion log(x + 1) – log x = 3 representa una ecuacion logaritmica.

Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones. Ejemplo para discusion: Resuelve las siguientes ecuaciones para x: [pic] Ejercicio de practica: Resuelve las siguientes ecuaciones: [pic] Graficas de funciones logaritmicas Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Asi que la grafica de y = logb x es una reflexion sobre la recta y = x de la grafica de y = bx. La grafica de y = bx tiene como asintota horizontal al eje de x mientras que la grafica de y = logb x tiene al eje de y como asintota vertical.

Ejemplo: [pic] [pic] y = 2x y = log2 x Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la grafica de y = log2 x es una reflexion de la grafica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los numeros reales y el recorrido es todos los numeros reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los numeros reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los numeros reales.