Ejercicios de mates

Carlos Gonzalez Garcia Profesor de Ensenanza Secundaria, especialidad de Matematicas Jesus Llorente Medrano Profesor de Ensenanza Secundaria, especialidad de Matematicas Maria Jose Ruiz Jimenez Profesora de Ensenanza Secundaria, especialidad de Matematicas MATEMATICAS II 2° Bachillerato Ciencias de la Naturaleza y la Salud Tecnologia Guia Didactica Fotocomposicion, maquetacion y realizacion de graficos: M. Color, S. L. Fotografias: Archivo Editex. Dibujos: Archivo Editex. Diseno de portada: Pachi Larrosa. Fotografias de portada: Archivo Editex.

Coordinacion y supervision pedagogica y tecnica: Equipo Editex. Editorial Editex, S. A. , ha puesto todos los medios a su alcance para reconocer en citas y referencias los eventuales derechos de terceros y cumplir todos los requisitos establecidos por la Ley de Propiedad Intelectual. Por las posibles omisiones o errores, se excusa anticipadamente y esta dispuesta a introducir las correcciones precisas en posteriores ediciones o reimpresiones de esta obra. De acuerdo a la legislacion vigente sobre uso y supervision de materiales curriculares, en el ambito de gestion del territorio MEC (RD 1744/1998, de 1 de julio), este material, que corresponde a la materia de Matematicas y dirigido al alumnado de 2. o curso de Bachillerato, ha sido elaborado atendiendo a las exigencias curriculares establecidas en los Reales Decretos de ensenanzas minimas

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y demas normativa academica. Asimismo, el proyecto editorial de la citada materia ha sido remitido a las administraciones educativas de las Comunidades Autonomas con competencias. Aprobaciones: Andalucia: Orden: 20-12-95. BOJA: 06-02-96. Canarias: Resolucion: 02-02-98. BOC: 02-01-99. Galicia: Orden: 27-04-98.

DOG: 28-05-98. Pais Vasco: Autorizacion: 29-02-96. El presente material didactico ha sido creado por iniciativa y bajo la coordinacion de Editorial EDITEX, S. A. , conforme a su propio proyecto editorial. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad, ni parte de este libro, pueden reproducirse o transmitirse o archivarse por ningun procedimiento mecanico, informatico o electronico, incluyendo fotocopia, grabacion o cualquier sistema de almacenamiento de informacion sin permiso escrito de Editorial Editex, S. A. © Carlos Gonzalez Garcia. Jesus Llorente Medrano.

Maria Jose Ruiz Jimenez. © Editorial Editex, S. A. Avda. Marconi, nave 17 – 28021 Madrid INDICE 1. Introduccion ………………………………………………………………………. 2. Objetivos del Curso …………………………………………………………… 3. Estructura Global ………………………………………………………………. 4. Bloques Tematicos ……………………………………………………………. 5. Desarrollo de Unidades Didacticas ………………………………………

Unidad Didactica 1: Matrices …………………………………………….. Unidad Didactica 2: Determinantes ……………………………………. Unidad Didactica 3: Sistemas de ecuaciones lineales …………… Unidad Didactica 4: Vectores en el espacio …………………………. Unidad Didactica 5: Puntos, rectas y planos en el espacio ……. Unidad Didactica 6: Problemas metricos en el espacio …………. Unidad Didactica 7: Lugares geometricos. Conicas ……………… Unidad Didactica 8: Curvas y superficies ……………………………..

Unidad Didactica 9: Numeros reales. Funciones reales ………… Unidad Didactica 10: Limites de funciones ………………………….. Unidad Didactica 11: Continuidad de las funciones ………………. Unidad Didactica 12: Derivadas …………………………………………. Unidad Didactica 13: Aplicaciones de las derivadas ……………… Unidad Didactica 14: Representacion grafica de funciones ……. Unidad Didactica 15: Integrales indefinidas ………………………….. Unidad Didactica 16: Integrales definidas.

Aplicaciones ………… 5 8 14 22 36 37 51 61 69 80 91 101 109 114 122 129 137 146 159 172 191 G UIA D IDACTICA • 3 PRESENTACION La intencionalidad de esta Guia Didactica es la de complementar nuestro libro de texto Matematicas II, correspondiente a la asignatura del mismo titulo de los Bachilleratos de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Tecnologico. El profesorado podra encontrar en esta guia: • Orientaciones-guia o pautas para trabajar con el grupo-clase. • La resolucion de las Actividades Iniciales y las Actividades de Ensenanza-Aprendizaje. Los Criterios y Actividades resueltas de Evaluacion. • La resolucion de los problemas propuestos en las paginas que desarrollan el bloque de contenidos denominado Resolucion de Problemas, los cuales figuran propuestos en el libro de texto al final de cada una de las Unidades Didacticas. Queremos agradecer desde aqui a nuestros companeros su colaboracion en forma de opiniones, criticas, sugerencias y todo aquello que consideren oportuno para mejorar nuestros materiales en posteriores ediciones. 4 • G UIA D IDACTICA 1 – INTRODUCCION

METODOLOGIA Concebimos la metodologia como la forma concreta en la que se organizan, regulan y se relacionan entre si los diversos componentes que intervienen en el proceso de aprendizaje: objetivos, contenidos, actividades, evaluacion, recursos y medios didacticos; y, especialmente, alumnado, profesorado y comunidad educativa. Se identifica en nuestro Proyecto con la concepcion curricular que desarrollamos, siendo para nosotros esencial la consecucion de las metas educativas propuestas. La metodologia implicita en estos materiales curriculares se explica en las respuestas que damos a las siguientes preguntas: Como vamos a intervenir con nuestro grupo-clase? 1. A traves de actividades dirigidas a: Conocer las ideas previas de los alumnos/as y su grado de elaboracion. Modificar sus ideas iniciales, construyendo de forma significativa nuevos conocimientos. El profesor/a es mediador y plantea actividades de aprendizaje para modificar las concepciones iniciales, para que el alumno/a de pasos progresivos en cuanto a identidad y elaboracion personales, abriendo la posibilidad de llevar a cabo una reflexion critica sobre ellos. Fomentar el rigor en el uso de lenguajes (algebraico, geometrico, grafico y probabilistico).

Potenciar los siguientes aspectos: La reflexion sobre lo realizado. La recogida de datos. Elaboracion de conclusiones. Recopilacion de lo que se ha aprendido. Analizar el avance en relacion con las ideas previas (punto de partida). Facilitar al alumno/a la reflexion sobre: habilidades de conocimiento, procesos cognitivos, control y planificacion de la propia actuacion, la toma de decisiones y la comprobacion de los resultados. 2. La intervencion en relacion con el proceso de ensenanza y aprendizaje requiere: Una actividad previamente disenada (trabajo prospectivo del profesor).

Negociacion de los objetivos concretos de aprendizaje (trabajo del profesor como orientador). Toma de decisiones acerca de los metodos de trabajo y la evaluacion del proceso de aprendizaje. Valoracion por parte del profesor de este proceso de aprendizaje (trabajo del profesor como asesor e investigador). 3. Esta metodologia permite el establecimiento de redes conceptuales, exigiendo, como consecuencia, un marco interactivo mas abierto e interdisciplinar en su caso. ?Que pautas metodologicas seguiremos? Para la aplicacion, seguimiento y observacion sistematica de nuestra intervencion en el aula, proponemos y sugerimos las pautas siguientes:

G UIA D IDACTICA • 5 Promover el aprendizaje significativo, ya que para conseguir verdaderos aprendizajes escolares es necesaria la actividad constructiva por parte del alumno y de la alumna. Desde esta perspectiva planteamos las Actividades de EnsenanzaAprendizaje, con una intencion clara, dentro de unas tareas que tienen sentido para el alumno/a y que asi hemos experimentado en nuestra actividad docente, consideradas de manera que estos/as puedan adquirir, por si solos, su sentido, significacion y utilizacion para otros contextos diferentes.

Considerar el tratamiento de atencion a la diversidad como esencial en todo el desarrollo del curriculo. Para ello, proponemos actividades directas, guiadas, contextualizadas, de analisis, sintesis, etc. , que refuercen y amplien los aprendizajes. Potenciar la globalizacion, a traves de lo que denominamos contenidos minimos, considerados estos como un conjunto de los diferentes contenidos y capacidades a desarrollar, atendiendo con este planteamiento a la diversidad curricular y a la heterogeneidad de las capacidades cognitivas de los alumnos/as.

Practicar el aprendizaje interactivo, basico para la construccion del conocimiento, pero sin caer en el activismo, sino fomentando la participacion de nuestros alumnos/as en las tareas de aula. Propiciar la motivacion, organizando una secuencia clara, sencilla y asequible que conecte a los alumnos/as con la realidad y el entorno en el que se desenvuelven. ?Como planteamos la Evaluacion?

Consideramos que para realizar una adecuada intervencion educativa es necesario plantear una evaluacion amplia y abierta a la realidad de las tareas de aula, y de las caracteristicas de los alumnos/as, con especial atencion al tratamiento a la diversidad. Nuestros referentes estan en los objetivos generales de ciclo y curso, contenidos y criterios prescriptivos de evaluacion, que responden al que evaluar, teniendo en cuenta, para ello, la diversidad de tareas de evaluacion de conceptos, procedimientos y actitudes.

Partimos para ello, en cada Unidad Didactica, de una evaluacion inicial, que nos permite conocer el nivel de aprendizaje del que parten nuestros alumnos/as. Al final del aprendizaje de cada Bloque Tematico proponemos una serie de actividades que sirven para evaluar objetivos y contenidos, incluidos en las distintas Unidades Didacticas que ahi se estructuran. Consideramos que estamos en la linea de una evaluacion formativa (vease la incidencia en las actividades de refuerzo y ampliacion), que nos proporciona una mayor informacion sobre cual es la situacion de cada alumno/a en su proceso de ensenanza.

Por supuesto, tambien de una evaluacion continua, que realizamos a lo largo de todo el proceso de ensenanza y aprendizaje, y no solo al final del mismo. Al evaluar de esta manera, reflexionamos sobre la practica educativa. Luego, cada profesor/a planteara los correctores adecuados, individuales y grupales, para mejorar el proceso de ensenanza y aprendizaje. Este proceso de evaluacion debe ser entendido como construccion conjunta, en el que consideramos al profesor/a como un mediador que debe ofrecer la ayuda necesaria y oportuna, en relacion con las demandas de necesidades que plantee el grupo-clase.

Los Criterios de Evaluacion que proponemos responden al modo de comprobar los objetivos de curso proyectados a traves de los objetivos didacticos, que constituyen las metas de las distintas Unidades Didacticas. Estos criterios los planteamos por Bloques Tematicos, ya que entendemos que esta agrupacion curricular es mas coherente, teniendo en cuenta que vienen a ser complemento y senal del resto del conjunto de actividades planteadas en cada Unidad Didactica, herramienta imprescindible para la evaluacion continua. 6 • G UIA D IDACTICA

TRATAMIENTO A LA DIVERSIDAD Este aspecto conlleva el planteamiento de todo el proceso de actividades de ensenanza y aprendizaje que planteamos a lo largo de todo el desarrollo curricular del curso. La gradacion de estas actividades implica una metodologia de la tipologia que nosotros concebimos. En primer lugar, partimos de lo que el alumno/a sabe (conocimientos previos) y, para ello, establecemos unas Actividades iniciales o de Diagnostico (en todas las Unidades). Asi, podremos establecer una especie de puente didactico, entre lo que el alumno/a sabe y lo que queremos que aprenda.

Al finalizar cada epigrafe principal o secundario, dentro de cada Unidad Didactica establecemos otro tipo de actividades denominadas Actividades Desarrolladas. Por ultimo, como sistematica globalizada de trabajo, proponemos una especie de banco global de Actividades de Ensenanza-Aprendizaje (Actividades de Refuerzo y de Ampliacion), relacionadas con el trabajo desarrollado en cada contenido. La finalidad de las primeras es la potenciacion y valoracion del proceso de ensenanzaaprendizaje, asi como del caracter globalizador de los conceptos y destrezas aparecidas en la Unidad.

Con las segundas, se pretende reforzar y/o ampliar el nivel de actividad y de aprendizaje del alumno/a. Es decir, o bien consolidan directamente el conocimiento alcanzado, o bien profundizan en el, ampliandolo. Estas ultimas aparecen en las Unidades Didacticas remarcadas dentro de un cuadrado. La resolucion de problemas, al ser un Bloque Tematico mas del curriculo y un eje vertebrador del area a lo largo de todo su desarrollo en el transcurrir de los cursos, esta integrada en cada una de las Unidades Didacticas.

Aparece al final de cada una de ellas, bajo el titulo de Resolucion de Problemas. Aqui se ponen de manifiesto los topicos de la misma: modelos de resolucion, estrategias, bloqueos, protocolos, etc. La resolucion de problemas es un instrumento metodologico importante, en tanto que proporciona a los alumnos/as herramientas, tecnicas especificas y pautas generales de aprendizaje. Al ser los problemas de investigacion abiertos, el tratamiento a la diversidad queda ampliamente satisfecho con ellos.

Al final de cada Bloque Tematico se formulan las Actividades de Evaluacion, cuya finalidad es desarrollar el alcance de los criterios formulados, y comprobar si se cumplen los objetivos didacticos disenados. La comprobacion de su desarrollo permitira al profesor/a saber cual es el logro alcanzado, en el proceso de ensenanza y aprendizaje, entre las Actividades Iniciales y estas ultimas de Evaluacion. G UIA D IDACTICA • 7 2 – OBJETIVOS DEL CURSO Tomando como referencia los Objetivos Generales de las asignaturas Matematicas I y Matematicas II, expresados en los Reales Decretos 1178/1992 y 179/1992, de 2 de octubre, por los que se establecen, respectivamente, las ensenanzas minimas y el curriculo del Bachillerato, y teniendo en cuenta las capacidades generales y especificas que los alumnos/as han adquirido en el Segundo Ciclo de la Educacion Secundaria Obligatoria (ESO) y en Primer Curso de Bachillerato, concretamos y formulamos los siguientes Objetivos Generales para el Segundo Curso de Bachillerato correspondientes a las modalidades de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Tecnologico en el area de Matematicas:

RESOLUCION DE PROBLEMAS En el Segundo Ciclo de la ESO y Primer Curso de Bachillerato, el alumno/a ha alcanzado estrategias y recursos tecnicos sencillos en la resolucion de problemas. Estos recursos estan relacionados con las fases de comprension del enunciado y busqueda de estrategias, asi como en la puesta en practica de alguna estrategia (simplificar el problema, particularizar, etc. ) en la resolucion de un problema.

En Segundo Curso de Bachillerato, el alumno/a debera ser capaz de: Alcanzar estrategias y recursos mas generales para resolver problemas, poner en practica la estrategia elegida en la fase de busqueda de estrategias, analizar los resultados obtenidos y validar o no las estrategias utilizadas. En determinados casos debe generalizar las situaciones que haya solucionado. Elaborar, de forma precisa y clara, el protocolo de resolucion, ser capaz de modificar su punto de vista y perseverar en la busqueda de las soluciones a los problemas.

Iniciarse en algunos de los metodos propios de validacion matematica: demostracion directa, reduccion al absurdo, induccion infinita, etc. Este objetivo general se trata en todas las Unidades Didacticas, en las dos paginas finales de cada Unidad que se desarrollan bajo el titulo Resolucion de Problemas, siendo este tratamiento una continuacion del desarrollo efectuado en los cursos 3? y 4? de ESO y Primer Curso de Bachillerato, en las paginas que respondian al titulo de Diviertete Pensando y Problemas de Investigacion. Este objetivo esta relacionado con los Objetivos Generales de la asignatura numeros 3, 4, 5, 6 y 8. ) LENGUAJES MATEMATICOS En el Segundo Ciclo de la ESO y Primer Curso de Bachillerato, el alumno/a se ha familiarizado con el uso de los distintos lenguajes matematicos. En el Segundo Curso de Bachillerato, el alumno/a debera ser capaz de: Utilizar correctamente los numeros enteros, fraccionarios, decimales e irracionales, asi como los complejos en diferentes contextos y situaciones de la vida real.

Ademas, utilizara los diferentes numeros en el manejo de los nuevos conceptos que aparecen en esta asignatura: matrices, determinantes, ecuaciones, sistemas de ecuaciones y expresiones cualesquiera. 8 • G UIA D IDACTICA Incorporar los lenguajes simbolico y grafico, y, en particular, el lenguaje algebraico a la resolucion de ecuaciones, sistemas y, en definitiva, a la resolucion de problemas. Consolidar el lenguaje grafico, tanto en aspectos relacionados con la Geometria como con el Analisis.

Este objetivo general se trata, en su contexto mas amplio, en todas las Unidades Didacticas, y, en particular, en las Unidades Didacticas siguientes: — Numero 1: Matrices. — Numero 2: Determinantes. — Numero 3: Sistemas de ecuaciones lineales. — Numero 9: Numeros reales. Funciones reales. (Este objetivo esta relacionado con los Objetivos Generales de la asignatura numeros 3, 4, 5, 6, y 7. ) FORMAS DE HACER PROPIAS DE LAS MATEMATICAS En el Segundo Ciclo de la ESO y Primer Curso de Bachillerato, el alumno/a ha interpretado funciones dadas por medio de su grafica, que responden a fenomenos reales y a situaciones proximas a su entorno.

Asimismo, ha entrado en contacto con el tratamiento estadistico, mediante la recogida de datos relativos tambien a su propio entorno, construyendo con ellos algunas tablas, diagramas y graficas estadisticas, y calculando los parametros asociados a variables estadisticas unidimensionales y bidimensionales. En Segundo Curso de Bachillerato, el alumno/a debera ser capaz de: Organizar y relacionar informaciones diversas relativas a la vida cotidiana, obteniendo las expresiones analiticas en los fenomenos en los que aparecen funciones polinomicas de primer y segundo grado, asi como funciones exponenciales, logaritmicas o trigonometricas.

Utilizar la representacion de funciones basada en los diversos conceptos asociados al calculo infinitesimal. Este objetivo general se trata en las Unidades Didacticas: — Numero 9: Numeros reales. Funciones reales. — Numero 10: Limites de funciones. — Numero 11: Continuidad de las funciones. — Numero 12: Derivadas. — Numero 13: Aplicaciones de las derivadas. — Numero 14: Representacion grafica de funciones. — Numero 15: Integrales indefinidas. — Numero 16: Integrales definidas. Aplicaciones. Este objetivo esta relacionado con los Objetivos Generales de la asignatura numeros 1, 2, 3, 5, 7 y 8. ) VALORACION Y ACTITUD Al ser este un objetivo general actitudinal, es valido para todo el Bachillerato y, en particular, para Segundo Curso. En este, el alumno/a debera ser capaz de: Conocer y valorar las propias habilidades matematicas para afrontar las situaciones que requieran su empleo o que permitan disfrutar con los aspectos creativos, manipulativos o utilitarios de las Matematicas. G UIA D IDACTICA • 9

Este objetivo general se trata en todas las Unidades Didacticas. (Este objetivo coincide con los Objetivos Generales de la asignatura numeros 2, 3, 6, 8 y 9. ) IDENTIFICACION DE ELEMENTOS GEOMETRICOS Y SU CUANTIFICACION En el Segundo Ciclo de la ESO y en Primer Curso de Bachillerato, el alumno/a ha identificado, interpretado y utilizado elementos geometricos, regularidades y propiedades en las figuras planas y en las formas espaciales. Ha aprendido a medir longitudes y areas de figuras planas por medio de metodos empiricos.

Ademas conoce la resolucion de triangulos. En Segundo Curso de Bachillerato, el alumno/a debera ser capaz de: Interpretar y calcular aspectos relacionados con figuras planas y formas espaciales presentes en la realidad, basandose en las propiedades y relaciones geometricas existentes en ellas, siendo sensible a la belleza que generan. Formalizar la precision en situaciones relacionadas con la medida y comprobar propiedades geometricas asociadas a las figuras y formas planas mas usuales.

Iniciarse en los mismos aspectos sobre formas espaciales. Utilizar las herramientas que proporciona la geometria analitica en la resolucion de los problemas asociados a los elementos usuales en el plano: puntos y rectas. De igual forma utilizaran los mismos instrumentos para resolver problemas relacionados con los elementos del espacio: puntos, rectas y planos. Este objetivo general se trata en las Unidades Didacticas: — Numero 4: Vectores en el espacio. Numero 5: Puntos, rectas y planos en el espacio. — Numero 6: Problemas metricos en el espacio. — Numero 7: Lugares geometricos. Conicas. — Numero 8: Curvas y superficies. (Este objetivo esta relacionado con los Objetivos Generales de la asignatura numeros 1, 2, 4, 5 y 9. ) Estos objetivos de curso se concretan en cada Unidad Didactica dentro de lo que llamamos Objetivos Didacticos. Estos aparecen descritos en las paginas posteriores, correspondientes a cada una de las Unidades Didacticas.

CONEXIONES CON EL PRIMER CURSO DE BACHILLERATO Y EL SEGUNDO CICLO DE LA ESO El curriculo oficial determina las ensenanzas minimas relativas a contenidos, asi como los objetivos generales y los criterios de evaluacion para la materia de Matematicas II correspondiente a los Bachilleratos de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y de Tecnologia. Partiendo de este marco, hemos construido los materiales curriculares de Matematicas para el Segundo Curso de Bachillerato. Para ello, hemos tenido muy presente los conceptos y capacidades que el alumno/a ha adquirido en el Primer Curso de Bachillerato y en el Segundo Ciclo de la ESO.

A continuacion, describimos y comentamos, para cada Bloque Tematico que contempla el curriculo oficial, la conexion existente entre las capacidades y contenidos ya adquiridos en el Primer Curso de Bachillerato y en el Segundo Ciclo de la ESO con las capacidades y contenidos que deben adquirir en Segundo Curso de Bachillerato, aludiendo asi, obviamente, a nuestra consideracion sobre la recurrencia y el tratamiento en espiral de los contenidos. Estos a su vez serviran, en algun caso, de punto de partida en estudios posteriores a los de Bachillerato. 10 •

G UIA D IDACTICA 1. Bloque Tematico I: Algebra lineal En el Primer Curso del Bachillerato y en Segundo Ciclo de la ESO, los alumnos/as han aprendido a: Manejar los numeros naturales, enteros, decimales y fraccionarios. Estableciendo relaciones de ordenacion, expresion de cantidades y medidas, calculo de razones y porcentajes y relaciones de divisibilidad. Utilizar la calculadora con las operaciones elementales, y tambien en relacion con el calculo con parentesis, notacion cientifica, jerarquia de las operaciones y calculos con las funciones elementales.

Iniciarse en el manejo de las operaciones con polinomios, en la resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado, y en pasar al lenguaje algebraico enunciados literales y de otro tipo. Asimismo, han sido capaces de resolver problemas sencillos mediante el empleo de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Ademas, se han iniciado en el estudio y en la resolucion de desigualdades e inecuaciones. Asimismo, seran capaces de resolver problemas mediante el empleo de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Se iniciaran en el manejo de nuevos metodos de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales, como el metodo de Gauss. En el Segundo Curso de Bachillerato, los alumnos/as: Adquiriran la soltura necesaria para realizar las operaciones existentes con matrices, asi como el correcto desarrollo de los determinantes, en particular los de tercer orden. Utilizaran el teorema de Rouche-Frobenius en el estudio y resolucion de los sistemas de ecuaciones lineales.

Mas adelante, interpretaran las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales a la luz de los conocimientos geometricos que vayan adquiriendo. Se iniciaran en nuevos metodos de resolucion de sistemas de ecuaciones (regla de Cramer, matriz inversa), sin olvidar los procedimientos ya conocidos de cursos precedentes (metodo de Gauss, metodo de eliminacion). Seran capaces de estudiar un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parametro y, con posterioridad, resolverlo en las situaciones que sea posible. 2. Bloque Tematico II: Geometria En el Primer Curso de

Bachillerato y en el Segundo Ciclo de la ESO, los alumnos/as han aprendido a: Iniciarse en el estudio de las razones trigonometricas, en su significado, en las relaciones entre ellas y en su aplicacion a la resolucion de triangulos rectangulos. Completar el estudio de las razones trigonometricas para angulos cualesquiera. Aplicar sus definiciones y relaciones en la resolucion de triangulos. Ser capaces de utilizar las multiples relaciones entre las razones trigonometricas referidas a la suma y diferencia de angulos, a los angulos dobles, a los angulos mitad, etc.

Iniciarse en la resolucion de ecuaciones trigonometricas. Utilizar los conceptos asociados a la geometria cartesiana del plano para resolver problemas de incidencia y metricos entre los elementos del plano: puntos y rectas. Iniciarse en el estudio de los vectores, asi como en las diferentes operaciones que pueden realizarse con ellos. En el Segundo Curso de Bachillerato, los alumnos/as: Completaran el estudio de los vectores en el espacio, realizando las posibles operaciones con ellos y su aplicacion a problemas de indole geometrica. Seran capaces de describir los elementos geometricos del espacio: puntos, ectas y planos. A su vez, estudiaran y formularan las relaciones de tipo afin entre ellos. G UIA D IDACTICA • 11 Utilizaran los conceptos asociados a la geometria cartesiana del plano y del espacio para resolver problemas metricos entre los elementos del plano. Completaran el estudio de los lugares geometricos en el plano y, en particular, estudiaran el mundo de las conicas mas significativas: circunferencia, elipse,. hiperbola y parabola. Se iniciaran en el estudio de familias de curvas planas de gran interes: espirales, catenarias, cicloides, cisoides, concoides, ovalos, etc.

Resolveran situaciones geometricas, utilizando diferentes herramientas que vienen dadas por la trigonometria, la geometria vectorial, la geometria afin o la geometria metrica. 3. Bloque Tematico III: Analisis En el Primer Curso de Bachillerato y en el Segundo Ciclo de la ESO, los alumnos/as han aprendido a: Ser capaces de interpretar y manejar funciones dadas por medio de su grafica, tabla, expresion algebraica sencilla o descripcion verbal. Asimismo, a analizar las graficas, atendiendo a nuevos conceptos: acotacion, crecimiento, maximos y minimos, etcetera.

Conceptualizar las funciones constantes, lineales o de proporcionalidad directa y afines, asi como los elementos asociados a ellas. Seran capaces de identificar estas relaciones funcionales con problemas y fenomenos reales. Iniciarse en el estudio de las principales familias de funciones: polinomicas de primer y segundo grado, de proporcionalidad inversa, exponenciales, logaritmicas y trigonometricas, asi como las principales propiedades asociadas a ellas. Deberan identificar estas funciones en situaciones de resolucion de problemas y fenomenos reales.

Saber interpretar y manejar funciones dadas por medio de su grafica, tabla, expresion algebraica o descripcion verbal. Asimismo, analizaran las graficas atendiendo a nuevos conceptos: continuidad, crecimiento, extremos, etc. En el Segundo Curso de Bachillerato, los alumnos/as: Seran capaces de interpretar y utilizar los conceptos basicos del calculo infinitesimal: limite, continuidad, derivabilidad e integrabilidad. Manejaran con soltura el calculo de limites sencillos y las reglas de derivacion de las operaciones con funciones y de las funciones elementales, ademas de la regla de derivacion para las funciones compuestas.

Completaran el estudio de las funciones, calculando los elementos mas relevantes y realizando su representacion grafica en un diagrama cartesiano. Utilizaran la derivada en la resolucion de problemas de optimacion sencillos. Se iniciaran en el significado de la integral definida de funciones sencillas, asi como en el calculo de primitivas por los procedimientos mas elementales que se conocen. 4. Bloque Tematico: Resolucion de problemas En el Primer Curso de Bachillerato y en el Segundo Ciclo de la ESO, los alumnos/as han aprendido a: Conseguir recursos tecnicos sencillos en la resolucion de problemas.

Estos recursos estan relacionados con las fases de comprension del enunciado y busqueda de estrategias. Alcanzar estrategias y recursos mas generales para resolver problemas, poner en practica la estrategia elegida en la fase de busqueda de estrategias, analizar los resultados obtenidos y validar o no las estrategias utilizadas. Iniciarse en poner por escrito, de manera ordenada, el protocolo de la resolucion de un problema. 12 • G UIA D IDACTICA Poner en practica alguna de las herramientas heuristicas mas simples: simplificacion, particularizacion, ensayo y error, experimentacion y modificar el problema.

En el Segundo Curso de Bachillerato, los alumnos/as: Utilizaran alguno de los modelos descritos en la resolucion de problemas. Pondran en practica las estrategias mas habituales en la resolucion de problemas. Elaboraran, de forma precisa y clara, el protocolo de resolucion de un problema, seran capaces de modificar su punto de vista y perseverar en la busqueda de las soluciones a los problemas. Se iniciaran en algunos de los modos propios de demostracion matematica: demostracion directa, reduccion al absurdo, induccion infinita, proceso diagonal de Cantor, etc. G UIA D IDACTICA • 13 3 – ESTRUCTURA GLOBAL

CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N I D A D I: Algebra lineal • Identificacion de los diferentes tipos de matrices mas habituales. • Realizacion de las diferentes operaciones entre matrices y entre numeros y matrices. • Utilizacion de los procesos de reduccion en el calculo de la matriz inversa de una dada, asi como en el calculo del rango de una matriz. • Revision de las tecnicas de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales. • Valorar las matrices para describir situaciones numericas complejas. • Mostrar gusto y precision en la presentacion tabulada y clara de numeros. Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto, asi como correccion y pulcritud en el desarrollo de las actividades. • Curiosidad e interes por enfrentarse a problemas numericos. Matrices D I D A C T I C A 1 U N I D A D 1. Matrices. Conceptos asociados. 2. Tipos de matrices. 3. Operaciones con matrices 3. 1. Suma de matrices. 3. 2. Producto por un numero (escalar). 4. Producto de matrices. 5. Algunas clases de matrices. 6. Resolucion de un sistema de ecuaciones lineales por el metodo de Gauss. 7. Matriz inversa. 8. Rango de una matriz. 1. Determinantes de orden dos y tres. 2. Permutaciones.

Definicion de un determinante. 3. Propiedades de los determinantes. 4. Calculo de un determinante por los elementos de una linea. 5. Matriz inversa. 6. Rango de una matriz. D I D A C T I C A 2 • Calculo del valor del determinante de una matriz mediante diversos metodos: Sarrus, Gauss, por adjuntos. • Desarrollo del determinante de una matriz a traves de las propiedades de aquellos. • Utilizacion de los determinantes para encontrar la matriz inversa de una dada, asi como para el calculo del rango de una matriz. 14 Determinantes • Confianza en las capacidades propias y gusto en el desarrollo de estrategias de calculo. Curiosidad e interes por explorar regularidades que aparecen en las tablas numericas. • Correccion y pulcritud en el desarrollo de las actividades. • Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto. • G UIA D IDACTICA CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N I D A D D I D A C T I C A 3 I: Algebra lineal • Expresion matricial de un sistema de ecuaciones lineales. • Estudio de la existencia de soluciones (compatibilidad o incompatibilidad) de un sistema de ecuaciones lineales, mediante el teorema de Rouche-Frobenius. • Estudio de un sistema de ecuaciones lineales que dependa de un parametro. Resolucion de un sistema de ecuaciones lineales de diferentes formas: regla de Cramer, metodo de Gauss y metodo matricial. • Perseverancia en la busqueda de soluciones de los sistemas de ecuaciones compatibles. • Sentido critico ante las soluciones intuitivas de los sistemas de ecuaciones. • Gusto por la presentacion ordenada de los procesos y resultados obtenidos en el estudio y resolucion de sistemas de ecuaciones. • Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto. Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Clases. 2. Existencia de soluciones. 3. Metodos de resolucion. 4.

Regla de Cramer. 5. Sistemas homogeneos. 6. Eliminacion de parametros. BLOQUE U N I D A D D I D A C T I C A 4 1. 2. 3. 4. II: Geometria • Calculo de los valores de las diferentes operaciones entre dos vectores. • Interpretacion geometrica de cada una de las operaciones con vectores. • Estudio mediante el rango de matrices de la dependencia de vectores. • Calculo de las coordenadas de un vector respecto de una base dada. • Aplicacion de las propiedades de los productos escalar, vectorial y mixto a problemas geometricos. • Reconocimiento de la utilidad de los vectores para interpretar resultados geometricos. Correccion y pulcritud en el desarrollo de las actividades. • Valoracion de los utiles geometricos para resolver problemas de la vida real. • Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto. • Valoracion del calculo vectorial en la resolucion de resultados de la geometria clasica: area de un rectangulo, volumen de un tetraedro. Vector libre. Operaciones con vectores libres. Dependencia de vectores. Bases. Producto escalar de dos vectores libres. 4. 1. Interpretacion geometrica del producto escalar. 4. 2. Expresion analitica del producto escalar. 5. Consecuencias del producto escalar. 6.

Producto vectorial de dos vectores libres. 6. 1. Interpretacion geometrica del producto vectorial. 6. 2. Expresion analitica del producto vectorial. 7. Producto mixto de vectores libres. 7. 1. Interpretacion geometrica del producto mixto. 7. 2. Expresion analitica del producto mixto. Vectores en el espacio G UIA D IDACTICA • 15 CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N II: Geometria • Determinacion de una recta. Utilizacion de sus diferentes ecuaciones. • Determinacion de un plano. Utilizacion de sus diferentes ecuaciones. • Resolucion de problemas de incidencia, interseccion y paralelismo en el espacio. Aplicacion de los conceptos de algebra lineal a la resolucion de problemas de interseccion y paralelismo. • Reconocimiento de la utilidad de conceptos como vectores y matrices para interpretar resultados geometricos. • Correccion y pulcritud en el desarrollo de las actividades. • Valoracion de los utiles geometricos para resolver problemas de la vida real. • Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto. • Sentido critico ante las soluciones obtenidas. Puntos, rectas y planos en el espacio I D A D D I D A C T I C A 5 U N I D A D D I D A C T I C A 6 1. Ecuaciones de la recta. 2. Ecuaciones del plano. . 1. Ecuacion normal del plano. 3. Posiciones relativas de dos y tres planos. 4. Posiciones relativas de una recta y un plano. 5. Posiciones relativas de dos rectas. 16 Problemas metricos en el espacio 1. Angulos entre elementos del espacio. 2. Proyecciones entre elementos del espacio. 3. Rectas que se apoyan sobre otras dos rectas dadas. 4. Distancias en el espacio. 4. 1. Distancia de un punto a un plano. 4. 2. Distancia de un punto a una recta. 4. 3. Otras distancias. 5. Otras medidas en el espacio: areas y volumenes. • Determinacion de rectas y planos a traves de alguna condicion metrica conocida. Identificacion y medida de angulos entre rectas y planos. • Calculo de distancias entre los elementos del espacio. • Calculo de areas y volumenes en el espacio. • Determinacion de puntos y rectas proyeccion de otras. Aplicacion al calculo de elementos simetricos en el espacio. • Reconocimiento de la utilidad de conceptos como vectores y operaciones entre ellos para interpretar resultados geometricos. • Correccion y pulcritud en el desarrollo de las actividades. • Valoracion de los utiles geometricos para resolver problemas de la vida real. • Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto. • Sentido critico ante las soluciones obtenidas. G UIA D IDACTICA CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N I 1. 2. 3. 4. 5. 6. II: Geometria • Obtencion de las ecuaciones de lugares geometricos planos sencillos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un angulo. • Obtencion de las ecuaciones reducidas de todas las conicas. • Determinacion de la incidencia de puntos y rectas con conicas. • Estudio de posiciones relativas entre conicas. • Obtencion de las rectas tangente y normal a una conica en un punto. • Reconocimiento de la utilidad de los conceptos geometricos para analizar y describir las formas planas y espaciales que nos rodean. Correccion y pulcritud en el desarrollo de las actividades. • Aprecio por el mundo real que nos rodea. • Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto. • Tenacidad y constancia en el estudio de los lugares geometricos, y sentido critico ante las soluciones obtenidas. Lugares geometricos. Conicas D A D D I D A C T I C A 7 U N I D A Lugares geometricos. Circunferencia. Elipse. Hiperbola. Parabola. Clasificacion de las conicas. Curvas y superficies D D I D A C T I C A 8 1. Coordenadas parametricas en el plano. 2. Coordenadas polares en el plano. 3. Espirales. 4. Curvas hiperbolicas. 5.

Cicloides. 6. Otras familias de curvas. 7. Coordenadas en el espacio. 8. La esfera. 9. Cuadricas. • Expresion de curvas planas en diferentes sistemas de coordenadas. • Obtencion de la representacion grafica, asi como las ecuaciones de algunas espirales. • Obtencion de la ecuacion y trazado de la cicloide y de alguna otra curva de su misma familia. • Obtencion de la ecuacion de la superficie esferica. • Analisis de las ecuaciones y de las secciones planas de las cuadricas mas significativas. • Gusto por estudiar las curvas y superficies que se presentan en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Reconocimiento del papel de las nuevas tecnologias en la representacion de curvas y superficies. • Aprecio por el mundo real que nos rodea. • Disposicion favorable hacia el trabajo propuesto. • Tenacidad y constancia en el estudio de curvas y superficies, y sentido critico ante las soluciones obtenidas. G UIA D IDACTICA • 17 CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N I D A D D I D A C T I C A 9 U N I D A III: Analisis • Representacion de intervalos y entornos en la recta real, y estudio de su acotacion. • Calculo del dominio de las funciones elementales. Utilizacion de las graficas de funciones dadas para realizar el estudio de sus caracteristicas. • Estudio de las caracteristicas de una funcion dada mediante su expresion analitica. • Saber encontrar la funcion inversa de una funcion dada y aplicar las propiedades de la composicion de funciones. • Valorar la utilidad de la equivalencia de la recta real y del conjunto de los numeros reales. • Sensibilidad y gusto por la precision y el cuidado en la representacion grafica de las funciones y en el analisis de las mismas. • Gusto por la claridad y el rigor matematico en los procesos de resolucion de actividades. Reconocimiento de la gran utilidad del lenguaje funcional y grafico como potente herramienta del Analisis Matematico. Numeros reales. Funciones reales 1. El conjunto de los numeros reales. 2. Orden en el conjunto de los numeros reales. Intervalos en la recta real. 3. Entornos de un punto. 4. Conjuntos acotados en la recta real. 5. Funciones reales de variable real. Dominio de una funcion. 6. Funciones simetricas y funciones periodicas. 7. Funciones acotadas. Extremos absolutos. 8. Monotonia. 9. Extremos relativos. 10. Composicion de funciones. Propiedades. 11. Funcion inversa. Limites de funciones

D D I D A C T I C A 10 1. Limite de una funcion. Funciones convergentes. 2. Limites laterales. 3. Propiedades de las funciones convergentes. 4. Limites infinitos cuando x tiende a un numero real. 5. Limites finitos en el infinito. 6. Limites infinitos en el infinito. 7. Ramas infinitas y asintotas de una funcion. 8. Operaciones con limites de funciones. 9. Calculo de limites sencillos. 10. Limites de funciones polinomicas y resolucion de indeterminaciones. • Interpretar graficamente el limite de una funcion en un punto, los limites laterales de una funcion en un punto y el limite de una funcion en el infinito. Encontrar las asintotas verticales, horizontales y oblicuas de una funcion. • Calcular limites utilizando las propiedades relativas a las operaciones con funciones convergentes y con funciones que tienden a infinito. • Utilizar con correccion los procedimientos que resuelven las indeterminaciones mas usuales. • Valorar la gran utilidad de la representacion grafica de funciones en el calculo de limites y asintotas. • Gusto por la precision y rigor en los procesos que nos permiten calcular limites. • Valorar la utilidad de la regla de Ruffini y del numero e en la resolucion de algunos tipos de indeterminaciones. 8 • G UIA D IDACTICA CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N I D A D D I D A C T I C A 11 U N I D A D III: Analisis • Utilizacion de la representacion grafica de las funciones en el estudio de la continuidad de las mismas. • Estudio de la continuidad de las funciones dadas analiticamente, mediante el calculo de limites. • Clasificacion de las distintas discontinuidades que presenta una funcion dada por medio de su grafica. • Uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas en el estudio de la continuidad de las funciones dadas analiticamente. Valorar la gran utilidad de la representacion grafica de una funcion para el estudio de su continuidad. • Apreciar la utilidad del calculo de limites en el estudio de la continuidad. • Rigor y claridad en los procesos que nos permite estudiar la continuidad de funciones dadas. Continuidad de las funciones 1. Funciones continuas. 2. Continuidad lateral. 3. Discontinuidad de una funcion. Tipos. 4. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas. 5. Propiedades de las funciones continuas. D I D A C T I C A 12 1. Tasa de variacion media e instantanea. . Derivada de una funcion en un punto. 3. Interpretacion geometrica de la derivada. 4. Derivadas laterales. 5. Funcion derivada. 6. Derivadas sucesivas. 7. Operaciones con funciones derivadas. 8. Derivadas de las funciones elementales. 9. Diferencial de una funcion. • Saber determinar las rectas tangente y normal a una curva en un punto dado. • Calcular la funcion derivada de cualquier funcion dada usando la tabla de derivadas. • Hacer uso de las derivadas laterales para el estudio de la derivabilidad. • Encontrar las derivadas sucesivas de una funcion dada en casos sencillos. Utilizar la diferencial en calculos aproximados. • Valorar la utilidad del limite en el calculo de derivadas de una funcion en un punto y de funciones derivadas. • Apreciar la importancia que tiene el concepto de derivada en el calculo de rectas tangentes a una curva dada. • Reconocimiento de la importancia de los conceptos de derivada y diferencial en el Analisis Matematico y en sus aplicaciones en otras ciencias. Derivadas G UIA D IDACTICA • 19 CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N I D A D D I D A C T I C A 13 U N III: Analisis • Relacionar continuidad y derivabilidad. Saber encontrar los intervalos de monotonia y concavidad de una funcion y analizar la monotonia en un punto. • Calcular extremos relativos y puntos de inflexion de funciones derivables. • Maximizar o minimizar problemas de contextos reales. • Utilizar las derivadas en la resolucion de las indeterminaciones que se presentan en el calculo de limites. • Valorar la utilidad de las derivadas en los problemas reales de optimizacion. • Apreciar las derivadas como herramientas practicas en el calculo de limites. • Valorar la importancia que ha tenido y tiene el calculo diferencial en Matematicas y en otras ciencias.

Aplicaciones de las derivadas 1. Continuidad de las funciones derivables. 2. Crecimiento y decrecimiento de una funcion. 3. Extremos relativos. 4. Determinacion de extremos relativos. 5. Optimizacion de funciones. 6. Concavidad. 7. Puntos de inflexion. 8. Aplicaciones de las derivadas al calculo de limites. Representacion grafica de funciones I D A D D I D A C T I C A 14 1. Dominio y recorrido de una funcion. 2. Puntos de corte con los ejes. Simetrias. Periodicidad. 3. Asintotas y ramas infinitas. 4. Monotonia. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexion. 5. Intervalos de signo constante.

Regiones. 6. Representacion grafica de funciones. • Saber estudiar cualquier caracteristica de una funcion dada. • Utilizar los intervalos de signo constante en la representacion grafica de funciones. • Representar funciones a partir de su expresion algebraica. • Interpretar las graficas de las funciones. • Sensibilidad y gusto por la elaboracion y presentacion cuidada de las graficas. • Reconocimiento de la utilidad de la representacion grafica de funciones en el estudio de estas. • Incorporacion del lenguaje grafico a la forma de tratar la informacion. 20 • G UIA D IDACTICA

CONTENIDOS CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES BLOQUE U N I D A III: Analisis • Utilizacion de la tabla de integrales inmediatas en el calculo de primitivas. • Calculo de primitivas mediante tecnicas elementales. • Utilizacion del metodo de integracion por cambio de variable en la resolucion de integrales indefinidas. • Calculo de primitivas sujetas a condiciones dadas de antemano. • Gusto por la claridad y el rigor en el calculo de primitivas e integrales indefinidas. • Reconocimiento de la gran utilidad de la integral indefinida como herramienta del calculo infinitesimal. 1. Primitiva de una funcion. 2.

Integral indefinida. Propiedades. 3. Metodos de integracion. Integrales indefinidas D D I D A C T I C A 15 U N I D A D D I D A C T I C A 16 1. Calculo de areas por el metodo exhaustivo. 2. Areas de recintos planos. 3. Integral definida. Propiedades. 4. Teorema del valor medio. 5. Teorema fundamental del calculo integral. 6. Regla de Barrow. 7. Area encerrada bajo una curva. 8. Area encerrada por dos curvas. Integrales definidas. Aplicaciones • Utilizacion del metodo exhaustivo en el calculo de areas de recintos planos. • Utilizacion del teorema del valor medio en la resolucion de ejercicios sencillos. Relacion del calculo diferencial e integral a partir del teorema fundamental del calculo. • Calculo de integrales definidas mediante la regla de Barrow. • Calculo de areas de recintos planos por medio de integrales definidas. • Valorar la utilidad del calculo integral en Matematicas y en otras disciplinas. • Sensibilidad y gusto por la precision y el cuidado en la representacion grafica de funciones de cara a determinar el recinto o recintos cuyas areas se quieren hallar. • Valoracion de la regla de Barrow en el calculo de integrales definidas. G UIA D IDACTICA • 21 4-D E S A R R O L L O DE BLOQUES T E M AT I C O S 2 • G UIA D IDACTICA BLOQUE TEMATICO 1 Algebra lineal L a meta del algebra que se desarrolla en este curso es la resolucion de situaciones que pueden plantearse mediante sistemas de ecuaciones lineales. Este objetivo esta siempre presente en el desarrollo de las Unidades Didacticas en las que se hace el estudio de las matrices y de los determinantes. A traves de sistemas de ecuaciones lineales se plantean y resuelven numerosas situaciones de variados ambitos cientificos: geometria, fisica, etc. El algebra lineal proporciona metodos sencillos que permiten resolver los citados sistemas de ecuaciones.

Los conceptos que acompanan los sistemas de ecuaciones son los de matrices y determinantes. Las matrices nos permiten agrupar de forma ordenada una gran cantidad de informacion y son facilmente manejables a traves de los medios informaticos. Los determinantes permiten extraer propiedades de las matrices con importantes aplicaciones. Estructura de Unidades Unidad Didactica 1: Matrices 1. Matrices. Conceptos asociados. 2. Tipos de matrices. 3. Operaciones con matrices. 3. 1. Suma de matrices. 3. 2. Producto por un numero (escalar). 4. Producto de matrices. 5. Algunas clases de matrices. 6.

Resolucion de un sistema de ecuaciones lineales por el metodo de Gauss. 7. Matriz inversa. 8. Rango de una matriz. Unidad Didactica 2: Determinantes 1. Determinantes de orden dos y tres. 2. Permutaciones. Definicion de un determinante. 3. Propiedades de los determinantes. 4. Calculo de un determinante por los elementos de una linea. 5. Matriz inversa. 6. Rango de una matriz. Unidad Didactica 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Clases. 2. Existencia de soluciones. 3. Metodos de resolucion. 4. Regla de Cramer. 5. Sistemas homogeneos. 6. Eliminacion de parametros. G UIA D IDACTICA • 23

ORGANIZADORES DEL APRENDIZAJE Para alcanzar una comprension significativa del desarrollo de este Bloque Tematico, es necesario que los alumnos construyan su aprendizaje fundamentando y revisando sus conocimientos sobre: Ideas y bases conceptuales: • Numeros naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos. • Operaciones con los distintos tipos de numeros. • Ecuaciones. • Sistemas de ecuaciones. • Metodos de resolucion de sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas. • Tabla o cuadro de numeros. • Operaciones con matrices. Terminos: • • • • • • • • • Numero. Matriz. Matriz inversa. Rango de una matriz.

Permutacion. Determinante de una matriz. Sistema de ecuaciones. Sistemas homogeneos. Parametro. CONOCIMIENTOS RECURRENTES METODOLOGIA • Integradora de las experiencias del alumno. • Reforzadora del razonamiento inductivo, mediante la experimentacion de situaciones concretas. • Heuristica, poniendo el acento en el dominio de procedimientos, tecnicas y operaciones. • Fomentar el razonamiento deductivo, a traves de conceptos, propiedades y teoremas. • Utilizacion de la calculadora y del ordenador. • Utilizacion de textos sobre historia de las Matematicas. • Utilizacion de problemas que han hecho historia.

RECURSOS Y MEDIOS CRITERIOS Y ACTIVIDADES DE EVALUACION 1. Criterios 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones. Este criterio supone: • Usar las matrices como cuadros de numeros, identificar sus elementos, asi como las clases de matrices mas usuales. • Realizar adecuadamente las operaciones definidas entre matrices. 2. Usar las matrices y los determinantes para representar e intercambiar informacion y resolver problemas de la vida cotidiana y de los ambitos cientifico y tecnologico.

Este criterio supone: • Adquirir un rango mas amplio de destrezas en el manejo de las situaciones numericas. • Manejar los conceptos y procedimientos relacionados con las matrices y el desarrollo de los determinantes. • Resolver situaciones relacionados con la geometria analitica de forma concisa. 3. Utilizar convenientemente las propiedades y los diferentes metodos que permiten calcular el determinante de una matriz. Este criterio supone: • Manejar las propiedades relacionadas con los determinantes. • Aplicar las diferentes tecnicas de obtencion del determinante de una matriz. Utilizar los determinantes para el calculo de la matriz inversa y del rango de un matriz. 4. Resolver problemas por medio de la simbolizacion de las relaciones que existan en ellos y, en su caso, en la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales. Este criterio supone: • Utilizar las herramientas algebraicas basicas en la resolucion de problemas. • Usar notaciones simbolicas en el planteamiento de problemas. • Resolver sistemas de ecuaciones lineales, utilizando los procedimientos algebraicos desarrollados. 24 • G UIA D IDACTICA 5.

Usar el teorema de Rouche-Frobenius en el estudio de la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Este criterio supone: • Utilizar el citado resultado en el estudio de todo sistema de ecuaciones lineales. • Usar dicho teorema en el estudio de sistemas dependientes de un parametro. Operando, a = a + 2c 2a + b = b + 2d c =c 2c + d = d Resolviendo el sistema, se obtiene a = d, c = 0. Por tanto, las matrices que conmutan con forma a b 0 a 4. Comprueba que la matriz tiene inver1 a sa cualquiera que sea el valor del parametro a y cala a2 – 2 con a, b ? R 1 2 0 1 son de la . Actividades 1. Una matriz cuadrada se llama antisimetrica cuando su traspuesta es igual a su opuesta. Obtener la forma general de una matriz A de orden 2 que sea antisimetrica. Calcular A2, A4 y A33. Las matrices antisimetricas de orden dos son de la forma A = 0 a –a 0 . cularla. El determinante de la matriz es de A = 2 ? 0. La matriz inversa de A = At = a a –2 2 a a2 – 2 1 a es 1 a a a2 – 2 –1 a Calculamos las potencias pedidas: A = 2 0 a • 0 a –a 0 = –a2 0 0 –a2 = –a 2 1 0 0 1 = –a I 2 Adj (At) = –a 0 A4 = A2 . A2 = (–a2 I) . (–a2 I) = +a4 I2 = a4 I A33 = A32 . A = a32 I .

A = a32 A = = a32 0 –a –a 0 = 0 –a33 –a33 0 a 0 A–1 = 1 Adj (A t) = det A a 2 –1 2 2 – a2 2 a 2 5. Halla el rango de la siguiente matriz, segun los valoa 1 1 a res de los parametros a y b: 2 b b2 1 2 1 1 a • Si a ? 2, b ? 0, b ? 1, el rango de A es tres. • Si a = 2 y b cualquiera, el rango de A es dos. • Si a ? 2 y b ? 0, el rango de A es tres. • Si b = 1 y a ? 1, el rango de A es dos. • Si b = 1, a = 1, el rango de A es uno. 6. Calcula, cuando exista, la inversa de la matriz 0 a –b 1 0 0 b 0 a 2. Dada la matriz , ? que relacion deben guar1 b dar las constantes a y b para que se verifique la igualdad A2 = A?

Debe cumplirse que Operando, a =a 2 a 0 1 b a 0 1 b = a 0 1 b a+ b = 1 Resolviendo, se obtienen las soluciones a = 0, b = 1 o a = 1, b = 0. 3. ?Que matrices conmutan con la matriz a b c d Debe cumplirse que a b c d 1 2 0 1 = 1 2 0 1 1 2 0 1 Sea A = las matrices que conmutan con 1 2 0 1 a b c d . ? La matriz inversa siempre existe, ya que det A = –(a2 + b2) ? 0. 0 1 0 La matriz inversa de A = 0 a –b At = 1 0 0 0 b a a 0 b –b 0 a es G UIA D IDACTICA • 25 0 Adj (At) = –a b a2 + b 2 0 0 a2 + b 2 –b –a b) Cuando a = 2 las soluciones del sistema son: x = 2/5, y = 9/5 – t, z = t con t ? R. 9.

Sea el sistema 0 x– y =0 x + y =0 a) Anade una ecuacion de modo que el sistema resultante sea compatible. b) Anade una ecuacion de modo que el sistema resultante sea incompatible. c) Interpreta geometricamente los apartados anteriores. a) Puede anadirse cualquier combinacion de ambas ecuaciones. b) Puede anadirse la ecuacion 2x – 3y = 4. c) En el sistema dado, las ecuaciones son rectas que se cortan en el origen. Por tanto: • En el apartado a), basta anadir una ecuacion de una recta que pase por el origen. • En el apartado b), basta anadir una ecuacion de una recta que no pase por el origen. 0. Estudia, para los diferentes valores del parametro a, la existencia de soluciones del sistema x + y + z = a–1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 y resuelvelo cuando sea compatible indeterminado. • Si a ? 1 y a ? 2, el sistema es compatible determinado. • Si a = 1, el sistema es incompatible. • Si a = 2, el sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son: x = 1 – t, y = 0, z = t con t ? R. a b – a2 + b 2 a2 + b 2 A–1 = 1 Adj (A t) = –1 0 0 det A b a –1 2 2 2 a +b a + b2 7. Calcula x para que el determinante de la matriz A valga 0, siendo A = x 1 0 0 0 x 1 0 0 0 x 1 1 0 0 x 1 1 0 det A = 0 x 1 0 0 0 x 1 1 0 0 x x 1 0 1 0 0 = x 0 x 1 – x 1 0 = x4 – 1 0 0 x 0 x 1 Por tanto, det A = x4 – 1, y el determinante se anula para x = 1 y x = –1. (a + 1) x + y + z = 3 8. Dado el sistema x + 2 y + az = 4 a + ay + 2 z = 2 a a) Estudialo. b) Resuelvelo para a = 2. a) • Si a ? 0, a ? 2 y a ? –3, el sistema es compatible determinado. • Si a = 0 o a = –3, el sistema es incompatible. • Si a = 2, el sistema es compatible indeterminado. 26 • G UIA D IDACTICA BLOQUE TEMATICO Geometria P uede decirse de la Geometria que es el quehacer matematico mas antiguo uno de las formas de hacer matematicas por excelencia. Euclides en su obra Elementos sento las bases de este bello edificio. Despues de los grandes geometras griegos, como Apolonio, han sido numerosos los matematicos que en todo tiempo han dedicado sus esfuerzos al estudio de las diferentes geometrias. En el desarrollo de las Unidades Didacticas que forman este Bloque Tematico se han desarrollado aspectos de la geometria que hacen uso continuado de las conceptos ya vistos en la parte de algebra lineal: matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. A partir e los conceptos de vector y punto, se construyen las denominadas geometrias vectorial y afin. El concepto de distancia nos permite abordar los problemas de la geometria metrica. Se complementa este Bloque Tematico con el estudio de otro de los conceptos basicos que mas resultados ha aportado a lo largo de toda la historia de las matematicas: el concepto de lugar geometrico. De este derivan las conicas, otras muchas curvas y algunas superficies. 2 1. 2. 3. 4. Estructura de Unidades Unidad Didactica 4: Vectores en el espacio Vector libre. Operaciones con vectores libres. Dependencia de vectores.

Bases. Producto escalar de dos vectores libres. 4. 1. Interpretacion geometrica del producto escalar. 4. 2. Expresion analitica del producto escalar. 5. Consecuencias del producto escalar. 6. Producto vectorial de dos vectores libres. 6. 1. Interpretacion geometrica del producto vectorial. 6. 2. Expresion analitica del producto vectorial. 7. Producto mixto de vectores libres. 7. 1. Interpretacion geometrica del producto mixto. 7. 2. Expresion analitica del producto mixto. Unidad Didactica 5: Puntos, rectas y planos en el espacio 1. Ecuaciones de la recta. 2. Ecuaciones del pla