Ejemplo de regresión lineal y no lineal

EJEMPLO DE REGRESION LINEAL Y NO LINEAL A partir de las siguientes observaciones para 5 anos de las variables X e Y, ajustese el modelo de regresion de Y en funcion de X mas idoneo. Donde, Y: produccion nacional de un subsector industrial, en millones de toneladas. X: tiempo |Ano |X |Y | |1995 |1 |1,25 | |1996 |2 |5 | |1997 |3 |11,25 | |1998 |4 |20 | |1999 |5 |30,5 | . – Ajuste de una funcion lineal: Y* = a + b X |X |Y |X2 |XY |Y2 |Y* |e=Y-Y* |e2 | | |1 |1,25 |1 |1,25 |1,56 |-1,1 |2,35 |5,5225 | | |2 |5 |4 |10 |25 |6,25 |-1,25 |1,5625 | | |3 |11,25 |9 |33,75 |126,56 |13,6 |-2,35 |5,5225 | | |4 |20 |16 |80 |400 |20,95 |-0,95 |0,9025 | | |5 |30,5 |25 |152,5 |930,25 |28,3 |2,2 |4,84 | |( |15 |68 |55 |277,5 |1483,3 |68 |0 |18,35 | |1/5 ( |3 |13,6 |11 |55,5 |296,67 |13,6 |0 |3,67 | | [pic] [pic] Y* = -8,45 + 7,35 X Bondad del Ajuste: Coeficiente de determinacion: R2 = [pic] = [pic] pic] [pic] 2. – Ajuste de una funcion parabolica: Y* = a + b X

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+ c X2 |X |Y |X2 |X3 |X4 |XY |X2Y |Y* |e=Y-Y* |e2 | | |1 |1,25 |1 |1 |1 |1,25 |1,25 |1,18 |0,07 |0,0049 | | |2 |5 |4 |8 |16 |10 |20 |5,11 |-0,11 |0,0121 | | |3 |11,25 |9 |27 |81 |33,75 |101,5 |11,32 |-0,07 |0,0049 | | |4 |20 |16 |64 |256 |80 |320 |19,81 |0,19 |0,0361 | | |5 |30,5 |25 |125 |625 |152,5 |762,5 |30,58 |-0,08 |0,0064 | |( |15 |68 |55 |225 |979 |277,5 |1205 |68 |0 |0,0644 | |1/5( |3 |13,6 |11 | | |55,5 | |13,6 |0 |0,0128 | |

Aplicando el metodo de los minimos cuadrados se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: [pic] Resolviendo este sistema se obtiene: a= -0,47 b= 0,51 c= 1,14 Y* = -0,47 + 0,51 X + 1,14 X2 Bondad del Ajuste: Coeficiente de determinacion: R2 = [pic] [pic] 3. – Ajuste de una funcion potencial: Y* = a Xb En primer lugar linealizamos: lnY* = lna + b lnX ( V* = A + b U |X |Y |U=lnX |V=lnY |U2 |UV |Y* |e=Y-Y* |e2 | | |1 |1,25 |0 |0,2231 |0 |0 1,2557 |-0,0057 |0,0000 | | |2 |5 |0,6931 |1,6094 |0,4803 |1,1156 |4,9888 |0,0112 |0,0001 | | |3 |11,25 |1,0986 |2,4203 |1,2069 |2,6590 |11,18 |0,0697 |0,0049 | | |4 |20 |1,3863 |2,9957 |1,9215 |4,1530 |19,82 |0,1799 |0,0324 | | |5 |30,5 |1,6094 |3,4177 |2,5901 |5,5006 |30,901 |-0,4012 |0,1610 | |( |15 |68 |4,7875 |10,666 |6,1988 |13,428 |68,146 |-0,1461 |0,1984 | |1/5( |3 |13,6 |0,9575 |2,1332 |1,2397 |2,6856 |13,629 |-0,0292 |0,0397 | |(e(0 [pic] [pic] Deshacemos el cambio efectuado: a= antilnA = antiln 0,2277 = 1,2557

Por lo que el ajuste efectuado es: Y* = 1,2557 X 1,9902 Bondad del Ajuste: [pic] Notese que al haber transformado la variable dependiente ya no se minimiza [pic] sino [pic], de ahi que [pic]. 4. – Ajuste de una funcion exponencial: Y* = a bX En primer lugar linealizamos: lnY* = lna + X lnb ( V* = A + B X |X |Y |V=lnY |X2 |XV |Y* |e=Y-Y* |e2 | | |1 |1,25 |0,2231 |1 |0,2231 |1,7794 |-0,529 |0,2798 | | |2 |5 |1,6094 |4 |3,2188 |3,86 |1,138 |1,2950 | | |3 |11,25 |2,4203 |9 7,2609 |8,37 |2,88 |8,2944 | | |4 |20 |2,9957 |16 |11,983 |18,18 |1,82 |3,3124 | | |5 |30,5 |3,4177 |25 |17,088 |39,45 |-8,95 |80,102 | |( |15 |68 |10,666 |55 |39,774 |71,64 |-3,641 |95,803 | |1/5( |3 |13,6 |2,1332 |11 |7,9548 |14,328 |-0,728 |19,16 | |(e(0 [pic] [pic] Deshacemos los cambios efectuados: a= antilnA = antiln-0,1996 = 0,819 b= antilnB =antiln 0,7776 = 2,176 Por lo que el ajuste efectuado es: Y* = 0,819 . 2,176 X Bondad del Ajuste: [pic]

La comparacion de la bondad de modelos de regresion mediante el coeficiente de determinacion solo es correcta cuando la variable dependiente no ha sido sometida a transformaciones no lineales (por ejemplo, una transformacion logaritmica). En este ejercicio, mediante R2 solo podemos comparar la regresion lineal y la parabolica. Por eso, para comparar los cuatro ajustes efectuados utilizamos el Error Cuadratico Medio. El mejor ajuste resulta ser el parabolico puesto que presenta el menor valor para el ECM. [pic] [pic]