Competencias en matematicas

COMPETENCIA EN MATEMATICAS (OCDE / PISA) En su edicion del 26 de julio pasado, EDUTEKA publico la traduccion de algunos apartes del capitulo sobre “Competencia en Lectura” [1] del informe del ano 2003 de OCDE / PISA [Programa Internacional de Evaluacion de Estudiantes auspiciado por la UNESCO y la Organizacion para la Cooperacion y el Desarrollo Economico (OCDE)]. El objetivo de la evaluacion internacional que hace OCDE / PISA es establecer hasta que punto los sistemas educativos de los paises participantes (42 en 2003) estan preparando a sus estudiantes de 15 anos para jugar un papel constructivo como ciudadanos participes en la sociedad.

Siguiendo la misma linea, EDUTEKA pone ahora a disposicion de sus usuarios los elementos centrales del capitulo sobre “Competencia en Matematicas” de este importante informe. DEFINICION DEL DOMINIO El dominio de Competencia en Matematicas de OCDE / PISA concierne la capacidad de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente sus ideas al tiempo que se plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matematicos en una variedad de contextos.

La evaluacion de OCDE / PISA se concentra en problemas de la vida real que van mas alla de las situaciones y problemas que tipicamente se encuentran dentro del salon de clase.

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En el mundo real, las personas se enfrentan frecuentemente con situaciones en las cuales la aplicacion de tecnicas de razonamiento cuantitativo o espacial, asi como de otras herramientas matematicas, puede contribuir a clarificar, formular o resolver un problema. Este es el caso, por ejemplo, cuando las personas van de compras, viajan, preparan alimentos, revisan sus finanzas personales o tratan de formarse opiniones sobre cuestiones de interes politico, etc.

Estas aplicaciones de las matematicas se basan en las habilidades desarrolladas a partir de los tipos de problemas que aparecen en los libros de texto escolares y los que se plantean en los salones de clase. No obstante, las mismas demandan la capacidad adicional de emplear las herramientas en contextos menos estructurados, donde las instrucciones son menos claras y donde el estudiante debe tomar decisiones sobre cuales conocimientos son relevantes y como se pueden aplicar de manera eficaz.

El nivel de competencia en matematicas de OCDE / PISA se refiere a la medida en la que estudiantes de 15 anos pueden ser considerados como ciudadanos reflexivos y bien informados ademas de consumidores inteligentes. En todo el mundo, las personas se enfrentan a una diversidad cada vez mayor de tareas que involucran conceptos cuantitativos, espaciales, probabilisticos, etc. Por ejemplo, los medios contienen gran cantidad de informacion presentada en tablas, cuadros y graficos sobre temas como el clima, la economia, la medicina, y el deporte, para solo nombrar unos pocos.

Los ciudadanos estan sometidos a un bombardeo continuo de informacion sobre asuntos tales como “el efecto invernadero y el calentamiento global”, ”el crecimiento poblacional”, “los derrames petroleros en el mar”, “la desaparicion de los bosques nativos”. Por ultimo e igualmente importante, las personas enfrentan la necesidad de leer formularios, interpretar horarios de trenes y buses, realizar transacciones financieras, etc.

La competencia matematica de OCDE / PISA se enfoca en la capacidad de los estudiantes de utilizar su conocimiento matematico para enriquecer su comprension de temas que son importantes para ellos y promover asi su capacidad de accion. OCDE / PISA define de la siguiente manera la competencia matematica: La competencia matematica es la capacidad de un individuo para identificar y entender el rol que juegan las matematicas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados y utilizar las matematicas en formas que le permitan satisfacer sus necesidades como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.

Una habilidad crucial implicita en esta nocion de la competencia matematica es la capacidad de plantear, formular, resolver, e interpretar problemas empleando las matematicas dentro de una variedad de situaciones y contextos. Estos contextos van desde los puramente matematicos a aquellos que no presentan ninguna estructura matematica aparente (en este caso la persona debe introducir ella misma la estructura matematica). Tambien es importante enfatizar que la definicion no se refiere solamente a un nivel minimo basico de conocimiento de las matematicas.

Al contrario, la definicion atane a la capacidad de utilizar las matematicas en situaciones que van de lo cotidiano a lo inusual y de lo simple a lo complejo. Ciertas actitudes y emociones relacionadas con las matematicas como la confianza en si mismo, la curiosidad, la nocion de lo que es relevante, y el deseo de hacer o comprender cosas, no son componentes explicitos de la definicion de competencia matematica, pero no obstante contribuyen de manera importante a la misma. En principio, es posible poseer competencia matematica sin tener estas actitudes y emociones.

Sin embargo, en la practica, es poco probable que esta competencia vaya a ser aprovechada y puesta en uso por una persona que carezca de confianza en si misma, curiosidad, nocion de lo relevante, y deseo de hacer y entender cosas con cierto componente matematico. Por lo tanto, es fundamental reconocer la importancia de estos factores. Aunque estas actitudes y emociones no hacen parte de la evaluacion de competencia matematica de OCDE / PISA, las mismas seran tratadas en otras secciones del informe.

MARCO TEORICO DEL ESQUEMA MATEMATICO DE OCDE / PISA La definicion de competencia o “alfabetismo” matematico de OCDE/PISA es consistente con los elementos generales de la teoria de la estructura y el uso del lenguaje que surge de los mas recientes estudios socio-culturales. La capacidad de leer, escribir, escuchar y hablar un lenguaje es la herramienta mas importante de la sociedad humana. De hecho, cada lenguaje humano posee un diseno intrincado enlazado en formas complejas a una variedad de funciones.

El que una persona sea competente en un lenguaje, implica que la persona conoce muchos de los elementos fundamentales del lenguaje y es capaz de utilizar esos elementos en pro de diversas funciones o propositos sociales. De la misma manera, el considerar las matematicas como un lenguaje, implica que los estudiantes deben aprender los elementos fundamentales del discurso matematico (los terminos, signos, simbolos, procedimientos, habilidades, etc. ) y saber aplicarlos para resolver problemas en una variedad de situaciones entendidas en terminos de su funcion social.

Estas nociones academicas sobre la relacion entre “elementos fundamentales” y “funciones” que apoyan el esquema matematico de OCDE / PISA se pueden ilustrar a traves del siguiente ejemplo. |Ejemplo Matematico 1: Alumbrado Publico | |El consejo municipal ha decidido poner un reflector en un pequeno parque | |triangular de manera que este ilumine todo el parque. ?Donde deberia ubicarse| |el reflector? | Este problema social se puede resolver siguiendo la estrategia general que aplican los matematicos, es decir, a traves de la matematizacion del problema.

La matematizacion consta de cinco aspectos: 1. Se parte de un problema del mundo real; Establecer la ubicacion optima para un reflector en un parque. 2. Se formula el problema en terminos de conceptos matematicos; El parque se puede representar como un triangulo, y la iluminacion como un circulo con el reflector en el centro. 3. Gradualmente se abstrae de la realidad a traves de procesos tales como hacer supuestos sobre cuales aspectos del problema son importantes, la generalizacion del problema y su formalizacion (estos permiten transformar el problema real en un problema matematico que representa la ituacion en forma fehaciente); El problema se convierte en ubicar el centro de un circulo que circunscriba el triangulo. 4. Se resuelve el problema matematico; y Basandose en el hecho de que el centro de un circulo que circunscribe un triangulo yace en el punto de interseccion de los bisectores perpendiculares de los lados del triangulo, construir los bisectores perpendiculares de dos de los lados del triangulo. El punto de interseccion de los bisectores es el centro del circulo. 5.

Se hace conciencia de la solucion matematica en terminos de la situacion real. Relacionar este hallazgo con el parque real. Reflexionar sobre la solucion y reconocer, por ejemplo, que si una de las tres esquinas del parque fuera un angulo obtuso, esta solucion no funcionaria, pues el reflector quedaria por fuera del parque. Reconocer que la localizacion y tamano de los arboles del parque son otros factores que afectan la utilidad de la solucion matematica. Son estos procesos (representados graficamente en el diagrama 1. ) los que caracterizan, en terminos generales, como los matematicos hacen matematicas, como las personas utilizan las matematicas en un sinnumero de actividades, y como ciudadanos bien informados y reflexivos deben usar las matematicas para interactuar de manera integral y competente con el mundo real. [pic] Idealmente, para juzgar hasta que punto los estudiantes de 15 anos estan en capacidad de utilizar el conocimiento matematico que han acumulado para resolver problemas que encuentran en su vida diaria, uno recolectaria informacion sobre su capacidad para matematizar situaciones complejas.

Claramente esto no es practico. Por lo tanto, OCDE / PISA ha elegido preparar ciertos elementos para evaluar los diferentes pasos de este proceso. La siguiente seccion describe la estrategia escogida para formular problemas y preguntas de examen que cubran los cinco aspectos fundamentales de la matematizacion. El proposito es utilizar las respuestas a estas preguntas para ubicar a los estudiantes en la escala de competencia matematica de OCDE / PISA. ORGANIZACION DEL DOMINIO El dominio de competencia matematica de OCDE / PISA comprende tres ejes principales: Las situaciones o contextos en que se ubican los problemas, • El contenido matematico que se requiere para resolver los problemas, organizado de acuerdo a ciertas nociones claves, y, sobre todo, • Las competencias que deben ser aplicadas para conectar el mundo real, en el que se generan los problemas, con las matematicas, para resolver asi los problemas. Estos componentes se representan graficamente a continuacion: [pic] El nivel de competencia matematica de una persona se refleja en la manera en la que utiliza los conocimientos y las herramientas matematicas para resolver problemas.

Los problemas (y sus soluciones) pueden ocurrir dentro de una variedad de situaciones o contextos en la vida de cada individuo. Los problemas formulados por OCDE / PISA se refieren al mundo real en dos aspectos. Primero, los problemas se ubican dentro de situaciones relevantes a la vida del estudiante. Estas situaciones forman parte del mundo real y estan representadas en el diagrama 1. 2 por el cuadrado grande de la esquina superior izquierda. Asimismo, dentro de esa situacion, los problemas revisten un contexto mas especifico. Este esta representado por el cuadrado pequeno enmarcado dentro del cuadrado de situaciones.

El siguiente componente del mundo real que debe ser considerado cuando se habla de competencia matematica es el contenido matematico que la persona puede traer a colacion para resolver un problema. El contenido matematico se puede dividir en cuatro categorias fundamentales que comprenden los tipos de problemas que surgen en la vida cotidiana y al mismo tiempo se refieren a la manera en que estos problemas se le presentan a la gente. Para los propositos de la evaluacion de PISA, estas nociones claves son: cantidad, espacio y forma, cambios y relaciones, e incertidumbre.

Esta clasificacion difiere en algo del contenido tipico de los curriculos escolares. Sin embargo, en su conjunto, estas nociones claves en terminos generales, comprenden la totalidad de los temas matematicos que se requiere que aprendan los estudiantes. Las nociones claves estan representadas por el cuadrado grande de la esquina superior derecha del diagrama. Los contenidos que se aplican para un problema particular se extraen de estas nociones generales. Estos estan representados por el cuadrado mas pequeno enmarcado dentro del anterior.

Las flechas que van de “contexto” y “contenido” al problema especifico demuestran como se plantea un problema tanto en el mundo real como en el campo matematico. Los procesos matematicos que los estudiantes aplican cuando intentan resolver un problema se denominan competencias matematicas. Tres conjuntos de competencias sintetizan los diferentes procesos cognitivos necesarios para resolver diversos tipos de problemas. Estos conjuntos, descritos en secciones posteriores, reflejan la manera en que los procesos matematicos se emplean normalmente para resolver problemas que surgen de la interaccion de los estudiantes con el mundo que los rodea.

Asi, el componente de procesos de este sistema esta representado primero por el cuadrado grande de la parte baja de la grafica que representa las competencias matematicas generales, y el pequeno que representa los tres conjuntos especificos de competencias. Las competencias particulares que se necesitan para resolver un problema estaran relacionadas con la naturaleza de este, y se veran reflejadas en la solucion planteada. Esta interrelacion esta representada por la flecha que conecta a los conjuntos de competencias con el problema y su solucion.

La flecha restante va de los conjuntos de competencias al formato del problema. Las competencias utilizadas para resolver un problema estan relacionadas a la forma del problema y sus requisitos particulares. Es importante subrayar que los tres componentes que se acaban de precisar tienen caracteristicas diferentes. Mientras que las situaciones y los contextos definen las areas de problemas en el mundo real, y las nociones claves reflejan la manera en que miramos el mundo a traves de “lentes matematicos”, las competencias son el corazon del “alfabetismo” matematico.

Solo cuando ciertas competencias esten a disposicion de los estudiantes podran estos resolver exitosamente ciertos problemas. Evaluar la competencia matematica de los estudiantes incluye evaluar hasta que punto cuentan con habilidades cuantitativas que puedan aplicar productivamente en situaciones problematicas. LAS COMPETENCIAS Para evaluar el nivel de competencia matematica de los alumnos, OCDE / PISA se basa en las ocho competencias matematicas especificas identificadas por Niss (1999) y sus colegas daneses [2]: 1. Pensar y razonar. Incluye plantear preguntas caracteristicas de las matematicas (“? Cuantas … hay? , “? Como encontrar …? ”); reconocer el tipo de respuestas que las matematicas ofrecen para estas preguntas; distinguir entre diferentes tipos de proposiciones (definiciones, teoremas, conjeturas, hipotesis, ejemplos, condicionales); y entender y manipular el rango y los limites de ciertos conceptos matematicos. 2. Argumentar. Se refiere a saber que es una prueba matematica y como se diferencia de otros tipos de razonamiento matematico; poder seguir y evaluar cadenas de argumentos matematicos de diferentes tipos; desarrollar procedimientos intuitivos; y construir y expresar argumentos matematicos. 3. Comunicar.

Involucra la capacidad de expresarse, tanto en forma oral como escrita, sobre asuntos con contenido matematico y de entender las aseveraciones, orales y escritas, de los demas sobre los mismos temas. 4. Modelar. Incluye estructurar la situacion que se va a moldear; traducir la “realidad” a una estructura matematica; trabajar con un modelo matematico; validar el modelo; reflexionar, analizar y plantear criticas a un modelo y sus resultados; comunicarse eficazmente sobre el modelo y sus resultados (incluyendo las limitaciones que pueden tener estos ultimos); y monitorear y controlar el proceso de modelado. . Plantear y resolver problemas. Comprende plantear, formular, y definir diferentes tipos de problemas matematicos y resolver diversos tipos de problemas utilizando una variedad de metodos. 6. Representar. Incluye codificar y decodificar, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones de objetos y situaciones matematicas, y las interrelaciones entre diversas representaciones; escoger entre diferentes formas de representacion, de acuerdo con la situacion y el proposito particulares. 7. Utilizar lenguaje y operaciones simbolicas, formales y tecnicas.

Comprende decodificar e interpretar lenguaje formal y simbolico, y entender su relacion con el lenguaje natural; traducir del lenguaje natural al lenguaje simbolico / formal, manipular proposiciones y expresiones que contengan simbolos y formulas; utilizar variables, resolver ecuaciones y realizar calculos. 8. Utilizar ayudas y herramientas. Esto involucra conocer, y ser capaz de utilizar diversas ayudas y herramientas (incluyendo las tecnologias de la informacion y las comunicaciones TICs) que facilitan la actividad matematica, y comprender las limitaciones de estas ayudas y herramientas.