Cap1 Introduccion

Capl Introduccion gy AIDa-FiCha Ocopa» 10, 2016 | 17 pagos Ecuaciones Diferenciales con MATLAB 1. 1 INTRODUCCIÓN a tecnología del s. XXI tiene una infinidad de dispositivos optoelectrónicos que han (R)evolucionado el estilo de vida de las personas, en especial, de los estudiantes que cursan las aulas universitarias e institutos de educación superior. Smartphones, tablets, laptops, notebooks, Smart TV 3D, reproductores de mp3 y mp4… y los diferentes servicios del ciberespacio, tales como Facebook Twitter Skype, Google, Second Life, por citar PACE 1 to View definitivamente cam ron.

Sin embargo, la peda gía Didáctica en Aula par Aprendizaje (PEA) de os siglos pasados. eso de Enseñanza – los recintos universitarios y fuera de ellos sigue, en muchos casos, inmutable ante estos grandes cambios en que vive la sociedad de hoy. Las unicas migraciones visibles son del papelógrafo al data show y de la pizarra a tiza a la pizarra con marcadores de agua, pero ¿qué hay acerca de la didáctica en sí, de los sistemas de evaluación y calificación y del verdadero concepto de educación superior?

Durante muchísimos años se consideró a la educación, primaria, secundaria y superior simplemente como una transmisora de conocimientos producidos por otros, es decir, una ducación repetidora de

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acontecimientos, descubrimientos e estudiante —en base a lo anterior- en forma rígida, sin salirse de los cánones previamente establecidos por algún ente regulador, ya sea del gobierno, una organización religiosa, poltica.

Pero esta forma de considerar la educación está cambiando con la irrupción de diferentes teorías, enfoques y modelos; en especial, el paradigma del pensamiento complejo, las ciencias de la complejidad, la investigación transdisciplinar y ecosistémica, Desde el origen del cálculo dlferencial e integral con Newton y Leibniz, éste no dejó de ser hasta hoy, un aporte grandioso a diversos istemas físicos modelados matemáticamente a través de ecuaciones de diferentes características, cuya resolución, complicada en algunos casos, ofrece parámetros de interés mediante los cuales se puede conocer el «comportamiento de un sistema» al recibir una determinada excitación exterior que modifica la energía interna que posee.

Luis Cabezas Tito Puesto que un «sistema» desde el punto de vista reduccionista será un conjunto de elementos físicos relacionados entre si ordenadamente para cumplir un determinado propósito, este tiene sus componentes que lo forman, imponiendo ciertos valores a las variables (cantidades que istema, dando origen a complejidad y señala que «el sistema es una totalidad organizada, hecha de elementos solidarios que no pueden ser definidos más que los unos con relación a los otros en función de su lugar en esta totalidad». 1 Todo sistema tiene límites o puertas por donde entran las perturbaciones del entorno al sistema y puertas de medición o respuesta por donde el sistema modifica a su entorno. 1. 2 MODELADO Las ecuaciones diferenciales que forman parte del paradigma positivista, cartesiano y reducclonista (ED) son un modelo matemático que indlca el comportamiento de un modelo físico dinámico.

Vale recordar que, cuando se tiene un sistema al frente, éste es un «Modelo Físico»; después se pasa a un «Modelo Simbólico» mediante aproximaciones; posteriormente, se llega al «Modelo Matemático» mediante una ecuación o un sistema de ecuaciones, generalmente, lineal y simplificado al máximo. por ejemplo, una resistencia eléctrica es un modelo físico que tiene su representación simbólica y está regida por la Ley de Ohm como modelo matemático. Modelo Físico Modelo Simbólico Modelo Matemático I . 3 CONCEP OS BÁS COS Multiversidad Mundo Real. NOTA: Para que se llame ecuación diferencial (ED) es necesario ue por lo menos exista una derivada respecto a la variable independiente. Si una función depende de varias variables independientes, se denomina «Ecuación Diferencial en (entre) Derivadas Parciales» (EDDP).

I A CLASIFICACION En general, las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos grandes grupos: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO). Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDDP). Ejemplos: EDO: d2y dy 02 Cl sen( x) dx EDO de Hermité: EDO de aessel: 20″ * + (0 2 – = O EDO de Airy: = 2 EDDP de Laplace: n n V2 no «Orden» de una EDO a la mayor derivada cuando está escrita en forma polinómica. Ver los siguientes ejemplos: EDO de tercer orden: y «(x) + + q(x)y(x) = h(x) EDO de cuarto orden: X4Y MX) + x2Y'(x) + MX) + Y(X) 1. 6 GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Está dado por el mayor exponente de la derivada de mayor orden. Por ejemplo: Y’ + + cosx = ex EDO de segundo grado. 10 Y» + y’ = senh(x) EDO de primer grado.

Donde f(x) es una función continua en un cierto intervalo [a, b] y, además, conocida; y — y(x) es lo que se busca y es igual a: La EDO más simple es donde F(x) es la función primitiva y C es una constante arbitraria a determinarse de acuerdo a las condiciones iniciales del sistema (problema). . 7 SOLUCIÓN DE UNA EDO La solución de una EDO de n-ésimo orden definida en el intervalo [a, b] es toda función y y(x) que junto a sus denvadas satisface la EDO al ser reemplazada en la misma. Ahora bien, existen dos tipos de soluciones: la función y El Práctica 3: verificar que x = cost; y = sent solucionan la EDO: 1. 8 EL MATLAB Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MATLAB (MATrix LABoratory) al ser una poderosa herramienta matemática que trabaja en forma matricial, tiene un módulo (Toolbox) de «Matemática Simbólica (Symbolic Math Toolbox)».

Recordemos que un «Toolbox» es una colección especializada de rchivos M (Script) que trabajan en determinadas clases de problemas. Estos Toolboxes son algo más que simples colecciones de funciones útiles: representan los esfuerzos de gente investigadora que son líderes a nivel mundial en campos, tales como las telecomunicaciones, finanzas, control, procesamiento de señales, matemática simbólica, redes neuronales, lógica difusa, etc. Symbolic Math Toolbox: es un conjunto integrado de herramientas para cálculo simbólico (algebráico) y aritmética con precisón vanable. A lo largo del libro se mostrarán, describirán y aplicarán los comandos MATLAB necesarios para esolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

El comando DSOLVE es de tipo simbólico y permite obtener la solución exacta de algunas Ecuaciones Diferenciales y de los correspondientes problemas de valor inicial. El argumento de este comando de MATLAB es de tipo STRING, de manera que no es necesario declarar a las variables involucradas en la ecuación. 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE TIPO CONOCIDO Sea la EDO y’ = f(x), al proceso de búsqueda de la solución se denomina ‘integración de EDO’ y Sea la EDO y’ f(x), al proceso de búsqueda de la solución se denomina ‘integración de la EDO’ y el gráfico de la solución lleva el nombre de «Curva Integral» de dicha EDO. Si x)dx De conocerse y(xo) yo para x xo (condición inicial), entonces tiene: yo Ejemplo 1: Resolver la EDO MATLAB, no así los datos introducidos previamente. La constante C se hace variar desde 100 hasta 0 con un paso o intervalo de 10. Para anular hold on se escribe: off Ejemplo 2: encontrar la familia de curvas para las cuales la pendiente es el doble de la abscisa y graficar dichas cumas integrales. Solución: en el plano cartesiano, la abscisa es la letra xo coordenada horizontal; mientras que a pendiente ‘m’ por definición es la derivada de la ordenada ‘y’ respecto de la abscisa ‘x’. Entonces, se tiene: = 20 Despejando e integrando la anterior ecuación: Evaluando con la condición inicial y(O) = O se obtiene la parábola y = x2. Para la graficación de las Curvas Integrales, recurramos a MATLAB. dependencia entre la pendiente de la curva y un punto cualquiera de la misma; esto determina un «Campo de Direcciones» perpendlculares a las curvas integrales o, mejor dicho, a las tangentes de las mismas. También se puede decir que dada la EDO y’ = f(xay) , si y = y(x) es solución y (x0,y0) es un punto e la gráfica de y(x), entonces la pendiente de y y(x) en (xO,yO) es Y(xO) que es igual a f(xO, Ecuaciones Dlferenciales con MATLAB Lo anterior significa que, para conocer la pendiente de la solución que pasa por (xO,y0) no hace falta conocer dicha solución; basta con calcular Si esto se hace con todos los puntos del plano, se obtienen las pendientes de las soluciones que pasan por cada punto del plano.

Naturalmente, en la práctica es imposible hacer esto con todos los puntos del plano, pero nada impide hacerlo con tantos puntos como se quiera, configurando un gráfico que se denominará «Campo de Direcciones de la EDO. Ahora bien, ¿Cómo se construye el «Campo de Direcciones’ asociado a una EDO? Para encontrar el Campo de Direcciones de la ecuación diferencial, se debe igualar la función (x) o f(x,y) a una constante, es decir: En otras palabras, considere la EDO genérica Y(x) construir su Campo de Direcciones, se procede de la siguiente forma: = Para 2, convenientemente prefijada, se dibuja un segmento de recta o vector de pendiente f(x,y).

El resultado final de este trabajo se interpreta como información gráfica acerca de la solución de la EDO que aún no se ha intentado resolver por otros medios. Para aumentar la eficiencia, se usa MATLAB en el que intervienen los comandos MESHGRID y QUIVER que permiten generar la gráfica del campo de direcciones. Los vectores a considerar para obtener el Campo de Direcciones serán (1 M) (1 ,f(x,y)). Ejemplo 3: graficar el campo de direcciones de la EDO: dy Y dx x Solución: la función f(x,y) es igual a , igualando a una constante C, se tiene: Que es una familia de rectas que pasa por el origen de coordenadas. Aplicando MATLAB para la resolución de la ecuación diferencial con la condición inicial y(l) 1, la graficación de las Curvas Integrales y el Campo de Direcclones, tenemos: