Aplicaciones del calculo diferencial

4. 3. APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIONES DE LA DERIVADA. En esta unidad hablaremos de la primera derivada para analizar el comportamiento de familias de funciones. Se determinara a partir de los puntos criticos, los maximos y minimos de una funcion, aplicando el metodo de la primera y segunda derivada y con ellos revolveremos problemas del campo de optimizacion. USO DE LA PRIMERA DERIVADA. ?Porque es util saber donde una funcion es creciente o decreciente? Cuando se grafica una funcion en una computadora o calculadora de graficas, solo se observa parte de la figura.

En cambio la derivada, puede muchas veces dirigir nuestra atencion a caracteristicas importantes de la grafica ya que con ella podemos trazar la grafica de una forma mas completa. PUNTOS CRITICOS. Para cualquier funcion [pic], un punto p en el dominio de [pic] en donde [pic] o [pic] no esta definida se llama punto critico de la funcion. Ademas, el Punto [pic] en la grafica de [pic] tambien se llama punto critico. Un valor critico de [pic] es el valor [pic] de la funcion en un punto critico p. ?QUE INDICAN LOS PUNTOS CRITICOS?

Geometricamente, en un punto critico donde [pic], la recta tangente a la grafica de [pic]en

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[pic] es horizontal. En un punto critico donde [pic] no esta definido, no hay tangente horizontal a la grafica, es decir, o la tangente es vertical o no existe en absoluto. Una funcion puede tener cualquier numero de puntos criticos o ninguno (ver figuras) Los puntos donde [pic] o donde no esta definida dividen el dominio de [pic] en intervalos en los que el signo de la derivada permanece igual, ya sea positivo o negativo.

Por lo tanto, entre dos puntos criticos sucesivos la grafica de una funcion no puede cambiar de direccion; o sube o baja. MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES. ?Que le pasa a una funcion cerca del punto critico donde [pic]? Si [pic] tiene signos diferentes en cualquier lado de p entonces la grafica cambia de direccion. ?COMO SABER CUALES PUNTOS CRITICOS SON MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES? Prueba de la primera derivada para maximos y minimos locales: ? Si p es un punto critico en el dominio de [pic], y si [pic] cambia signo en un entorno de p, entonces [pic] tiene ya sea un minimo local o un maximo local en p. Si [pic] es negativa a la izquierda de p y positiva a la derecha de p, entonces f tiene un minimo local en p. < Si [pic] es positiva a la izquierda de p y negativa a la derecha de p, entonces f tiene un maximo local en p. EJEMPLO 1: Construccion de una caja de maximo volumen No olvides los pasos a seguir: 1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide. 2. Realiza el dibujo. 3. Construye el modelo. 4. Calcula maximos y minimos. Y analizar las siguientes cuestiones: a) ? Que es lo que te pide el problema?. b) ? Cuales son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja? puedes utilizar incognitas). c) ? Cual es la ecuacion con la que se va a obtener el maximo o minimo?. d) Deriva la funcion del inciso anterior. ?Cuales son los puntos criticos?. e) De acuerdo a los puntos criticos, que valor corresponde al maximo (de ser necesario utiliza el criterio de la segunda derivada). PONIENDO EN PRACTICA LOS CONOCIMIENTOS. Usa los conceptos matematicos aprendidos para efectuar una o todas las actividades siguientes: Diseno de una caja de carton de maximo volumen sin tapa. Materiales: Cartulina de 20 cm. X 20 cm. Tijeras Regla Escuadras

Calculadora Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo Cinta adhesiva (masking- tape) ENUNCIADO DEL PROBLEMA: En esta actividad examinamos el volumen de las diferentes cajas que se pueden construir a partir de un material del mismo tamano. PROCEDIMIENTO: a) Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm. Recorta cuadros en las esquinas como se muestra en la siguiente figura; despues de que tu profesor asigne las medidas de “x” a cada equipo. b) Las medidas de “x” para los seis equipos distintos, asignando una medida a cada equipo son: 2. 5 cm. , 2. 8 cm. , 3 cm. , 3. 3 cm. , 3. cm. , y 3. 8 cm. c) Haga los dobleces necesarios para formar la caja como lo muestra la siguiente figura: 1 Cada equipo que tome los siguientes datos de las distintas cajas y que realice las operaciones pertinentes en su calculadora. CALCULOS: a). Determina el area de la base como lo indica la tabla en la columna 5 y anotalo. b). Determina el volumen del paralelepipedo como lo indica la columna 6 de la tabla y anotalo. c). ?Como se comparan los datos de tu grupo con los datos obtenidos por los otros grupos? (compara las areas y volumenes con la de los otros). d).

Deriva la funcion del volumen V = x (20 – 2x)2 e). Iguala [pic] con cero f). Obten el valor de “x” en [pic] = 0 g). ?Que valor de “x” en la tabla se aproxima mas con la “x” determinada en el inciso (f)? Comentalo con tu grupo. h). Comenta con tus companeros que metodo ocuparias si te asignan un trabajo similar al de la practica. i). Al estar trabajando en una empresa que se dedique al diseno de envases ? Crees que te permitirian desperdiciar material? j). ?Que dimensiones tiene la caja de maximo volumen? k). El valor que se debe aproximar mas, es el de la caja de x = 3. 3 cm. puede pedir a los alumnos que verifiquen experimentalmente los volumenes, reforzando las cajas con tela adhesiva para que no se deforme y midiendo el agua antes de llenar las cajas. l). Los metodos que hay son con: aritmetica, algebra, graficamente y con calculo diferencial, posiblemente se inclinen por el metodo de calculo diferencial, debido a que se pierde menos tiempo y no se desperdicia material como en el ensayo de prueba y error. m). En una empresa y en nuestra vida cotidiana, a nadie le gusta desperdiciar, incluso ni en experimentos. n). Altura = 3[pic] cm [pic] 3. cm. Largo = ancho = 13 [pic] cm. [pic] 13. 3 cm. ( EJEMPLO 2 . Altura maxima alcanzada por una toronja Una toronja es lanzada en linea recta hacia arriba a una velocidad inicial de 100 pies/seg. Su altura en el tiempo t esta dada por y = -16[pic]t[pic] + 100 t + 6 ? A que altura llega antes de regresar al suelo?. Si desea llevar al maximo la altura de la toronja sobre el suelo. Ya sabes que usando la derivada se puede encontrar exactamente cuando la toronja esta en su punto mas alto. Por sentido comun, en la parte mas alta la velocidad [pic] debe ser cero.

Alternativamente se busca un maximo, asi que se tratan de encontrar puntos criticos donde y’ = 0. Se tiene: [pic] y [pic] y asi [pic] Por lo tanto, se obtiene el tiempo en el que la altura es maxima; el valor maximo de y es entonces: [pic] ?Sera necesario comprobar analiticamente que en el punto critico que existe un maximo? OPTIMIZACION Dado que el mundo esta lleno de problemas, tanto en la industria, la ingenieria, el comercio y cualquier otra area que requiera de poder calcular aquellos valores que les permitan determinar ganancias maximas o minimos costos, menor cantidad de material para maximos volumenes etc. es en donde se vuelven importantes los procesos de optimizacion y donde el calculo diferencial toma un papel relevante en la determinacion de estos valores a partir de uno de sus conceptos mas importante que es el de la derivada en la obtencion de maximos y minimos a partir de una funcion. Pasos a seguir para resolver problemas de optimizacion: ? Lee el problema hasta comprender lo que se pide. ? Realiza uno o varios dibujos de la situacion que muestre como se relacionan los elementos que varian. Construye el modelo (ecuacion) de la situacion del problema, para lo cual consideras lo que se desea que sea maximo o minimo, como pueden ser areas, volumenes, costos, dimensiones, etc. y expresalo en terminos de una sola variable, utilizando los datos proporcionados. ? Calcula los maximos y minimos por el metodo que desees y resuelve el problema. ( EJEMPLO 1: Determinacion de las dimensiones de una lata. ?Cuales son las dimensiones de una lata de aluminio con capacidad de 64 cm3 de jugo, que utilice el minimo de material (es decir, aluminio)?.

La lata es cilindrica y con tapa en ambos extremos. Este problema lo puedes resolver por medio de ensayo y error, pero otra manera de resolverlo es utilizando maximos y minimos. Para realizar esto, es necesario elaborar un modelo matematico de la cantidad de material a usar (area de aluminio) Elaborando un dibujo de la situacion, para calcular el area de aluminio se descompone la lata, considerando las tapas y el cuerpo del cilindro. El area de cada tapa es [pic] y la del cuerpo del cilindro es [pic] construyendo el modelo (ecuacion). A [pic] = area de las tapas + area cilindro

A[pic] =[pic] Dado que la ecuacion esta en terminos de dos variables h (altura), r (radio) es necesario expresarla en terminos de una sola variable, para lo cual es necesario recurrir al volumen dado del cilindro. V[pic] = [pic] Como conocemos que V = 64 cm[pic] sustituyendo en la ecuacion anterior tenemos: 64 =[pic] Despejamos la h (altura) resultando: [pic] Sustituyendo en A[pic] queda: A[pic] = [pic] Simplificando terminos: A[pic] =[pic] Calculando [pic] obtenemos: [pic] Utilizando el criterio de la segunda derivada para obtener maximos y minimos:

Igualando la derivada a cero se obtienen los valores criticos: [pic] Despejando r: [pic] [pic] [pic] Calculando la segunda derivada [pic] Sustituyendo valor critico r = 2. 16 cm. A’’[pic] = 37. 96 Como el signo de la segunda derivada es positivo el valor critico es el minimo. Como r = 2. 16 cm. Sustituyendo en [pic] h = 4. 36 cm. Por lo tanto las dimensiones de la lata para tener la cantidad minima de material son: r = 2. 16 cm. y h = 4. 36 cm. ( EJEMPLO 2: Un problema economico. Una fabrica contrata a una empresa de autobuses para el traslado de sus trabajadores, convienen en pagar $120. 0 por trabajador, si hay un minimo de 50 personas y se comprometen a disminuir $1. 00 por cada persona que exceda de 50. ?Cual es el numero de trabajadores que proporcionara el maximo ingreso a la empresa del transporte?. 1. Si analizamos el enunciado del problema observaremos que por cada unidad que se aumente a 50 que es el numero de trabajadores minimo, se reducira en $1. 00 el costo del transporte por lo tanto la formula para calcular el Ingreso de la empresa seria: [pic] La cual representaria a nuestra funcion de ingreso 2.

Aplicando la formula para derivar un producto y determinar los valores criticos tenemos: [pic] [pic] [pic] [pic] Igualando la derivada a cero y despejando la variable para obtener el valor critico tenemos: [pic] [pic] [pic] (valor critico que representa un maximo) 3. Sustituyendo en la formula del ingreso tendriamos: [pic] [pic] [pic] Por lo tanto el numero maximo de trabajadores para que las ganancias sean maximas es de: 85. ( PARA REFORZAR LO APRENDIDO SE TE RECOMIENDA RESOLVER LOS PROBLEMAS QUE A CONTINUACION SE PLANTEAN, VERIFICA TUS RESULTADOS CON LA RESPUESTA INCLUIDA EN CADA UNO DE ELLOS. . Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso, los margenes superior e inferior deben ser de 2cm cada uno y el izquierdo y derecho de 1cm. ?Cuales seran las dimensiones de la hoja para las que el gasto de papel sea minimo? R. – Ancho = 5 Largo = 10 2. Un propietario puede rentar sus 40 apartamentos a $5,000. 00 mensuales cada uno, el dueno de los apartamentos observa que por cada $250. 00 de aumento en la renta, se renta un apartamento menos. ?Que renta debe cobrar y cuantos apartamentos debe rentar para obtener maximas ganancias? R. Debe rentar 30 apartamentos a un costo de $7,500. 00 cada uno para obtener maximas ganancias. 3. Dada una lamina rectangular de longitudes 2 y 1 m, respectivamente, calcula las dimensiones de la caja abierta que se puede formar con ella cortando en las cuatro esquinas un cuadro para que el volumen sea maximo. R. – [pic] 4. Una bala disparada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de t segundos la altura h = 500t – 5t2 metros. ?Cual sera la altura maxima que pueda alcanzar? R. – 12,500 mts 5. Un fabricante espanol de televisores observa que puede vender 50 televisores a 20,000. 00 pts. ada uno y que por cada aparato que fabrique de mas el precio bajara 300. 00 pts. ?Cuantos televisores debe fabricar para obtener el maximo ingreso? R. – x = 8. 3 ( 8 Televisores = 58 6. El costo de combustible que consume una locomotora es proporcional al cuadrado de la velocidad y tiene un costo de 1,600. 00 pts. por hora cuando la velocidad es de 40 km/h. Independientemente de la velocidad el costo por hora se incrementa por diferentes causas en 3,600. 00 pts. por hora. Calcular la velocidad a la que debe ir la locomotora para que el costo por kilometro sea minimo. R. – V = 60 km/h 7.

Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de 6400cm3 para que resulte mas economica, teniendo en cuenta que el precio del costo de la base es de $75. 00 y el de las superficies laterales de $25. 00 por cm2. R. – Dimensiones = 20 x 22 x 16 8. Hallar dos numeros cuya suma sea 120 y que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea maximo R. – n1 = 80 n2 = 40 9. En una pared rectangular de 18m2 de un museo, se quiere realizar una pintura rectangular que diste del techo y del piso . 75m y de las paredes izquierda y derecha . 5m ? cuales son las medidas de la pared para que el area de la pintura sea maxima?

R. – [pic] [pic] 10. Se tiene un alambre de dos metros de longitud y se desea dividirlo en dos partes para formar con la primera un cuadrado y con la segunda un circulo. Halla la longitud de cada parte para que la suma de las areas de las dos figuras sea minima. R. – [pic] ———————– [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] A L h [pic] Altura maxima [pic] [pic] A = ( r2 A = ( r2 Sustituyendo en la derivada con valores menores y mayores tenemos: Con un valor menor (34): -2(34) + 70 = 2 ——– f ’(34) = + Con un valor mayor (36): -2(36) + 70 = – 2 —— f ’(36) = – 34 36 35 [pic] [pic]