Aplicaciones de algebra lineal

Aplicaciones de algebra lineal gy Immamic»JD AexaúpR 02, 2010 8 pagos Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Departamento de Matem ‘ticas, CCIR,’ITESM a 18 de julio de 2009 ndice 4. 1. 4. 2. 4. 3. 4. 4. 4. 5. 4. 6. 4. 7. Introducci’n.. Swipe to page o Objetivo . Fracclones parciales . Determinaci’n de curvas o Balanceo de Reacciones Qu ‘ micas Aplicaciones a Manufactura Aplicaciones Diversas…. 11345 6 PACE 1 org 4. 1. to View nut*ge Introducci ‘n o En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Las aplicaciones de la resoluciones de istemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir las aplicaciones. Queda como reto personal encontrar situaciones donde surgan este tipo de problemas. 4. 2. Ob Objetivo La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resoluci ‘ n de un sistema o de ecuaciones lineales. Notablemente, la t’ cnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos m • s. e a 4. 3. Fracciones parciales Una t’ cnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matem ‘ticas es aquella conocida como fracciones e a parciales.

Esta e aplica para simplificar integrales o transformadas de aplace,

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por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma m ‘s conveniente para cierto tipo de c • Iculo. a a Ejemplo 4. 1 Determine los valores de las constantes ay b para que satisfagan: a b 1 Soluci ‘n o Se debe cumplir: a (x+3)+b (x-2) (x-2) (x+3) ax+3a+bx-2b (3 a-2 b) Esto se cumple si: 1+0 • x b) + (a + b) x Es decir, si: 2+2x+2X2 (X+l + 1) bx2+l a (x2 +1)+b (X+l) (X+l) (x2 +1) a x2+ a + b x + b +1) (a+b) + (b) x+a x2 (x+l )(x2 +1)

Esto se cumple si: 2 + 2×4 2×2 = (a b) + (b) x + ax2 Es decir, si: a + b = 2 b = 2 a = 2 El cual no tiene soluci ‘n. ¿Qu• puede andar mal? La forma propuesta para la expresi ‘n en fracciones parciao e o les. Ejemplo 4. 3 Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan: a bx+ c 2+2x+ 2×2 = + 22+ l)(x+ l)(x Soluci’n o Se debe cumplir: 2X2 +2X+2 +1) a x+l bx+c x2 +1 a(x2 (X+l )(x2 +1) ax2 4-a+bx2 +bX+CX+C (X+ 1 +1) Esto se cumple si: 2×2 decir, si:a+b=2b+c- 2x 31_1f8 -2 al tiene como soluci’ n: o resolver este tipo de problemas es describir la forma m ‘s eneral de la funci’n mediante par’ metros a o a constantes.

Y posteriormente se determinan estos par’ metros haciendo pasar la funci n por los puntos conoa o cidos. Ejemplo 4. 4 Determine la funci’n cudr ‘tica que pasa por los puntos P (1, 4), 2), y R(2, 3). o a Soluci’no La forma m ‘s general de una cuadr•tica es: aa f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes num ‘ ricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. e As’ pues los par’ metros a, b, y c se vuelven ahora las inc ‘ gnitas. Y para poderlas determinar requerimos de I a o cuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la funci n pase por el punto p (1, 4) se debe cumplir que o f (x = 1) = 4 es decir, se debe cumplir: a (1)2 4 b (1) 4 c = 4 es decir, se debe cumplir: Procediendo de igual manera con el punto Q(—l, 2): formulamos la ecuaci ‘n: o a—b+c=2 3 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3 Resumiendo para que la funci ‘n f (x) = a x2 0 ecuaciones: a a 4a La soluci’n a este sistema es: o + b x+ c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las + b + c —b+c=2 +2b+c= 3 1, y c = 3 3 La misma situaci’n presentada en el 211 a- problema de las fracciones parciales que originaba un sistema misma situaci’ n presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsiso tente, se puede presentar en la determinaci»n de funciones. Y la conclusi’n es smilar: si el sistema originado o o es inconsistente lo que se concluye es que no existe una funci’n con esa forma general que pase exactamente o por los puntos dados. Ejemplo 4. 5 Conociendo la soluci’n general a una ED: o y(t) = Cl et + C2 e—t C3 e3 t Determine en orden los valores de las constantes Cl , C2 , C3 para que se cumpla: y(O) = O, y ‘ (O) – -l, Y » (0) = -2 soluci no En este caso las inc’ gnitas son las constantes Cl , C2 , y C3 .

Para determinarlas requerimos las ecuaciones y o para ellas debemos determinar las derivadas de y(t): y(t) Cl et + C2 e—t + e3 t y (t) Cl et- C2e-t 3C3e3 ty » (t) et +C2 e-t+9 C3 e3 t Usando las condiciones iniciales y las derivadas calculadas tenemos: O Cl + C2 +C3 -1 = Cl – C2 + 3 C3 -2 = Cl + C2 +9 C3 La soluci’n es: Cl = 1/4)’ C3 4. 5. Balanceo de Reacciones Qu’ micas micas. La Una aplicaci n sencilla de los sistemas de ecuaciones e da en el balanceo de reacciones qu’ o problem ‘tica consiste en determinar el n mero entero de mol culas que intervienen en una reacci’n qu’ a ue o mica cuidando siempre que el n’ mero de tomos de cada sustancia se p una reacci»n qu» a ue o mica cuidando siempre que el n mero de ‘tomos de cada sustancia se preserve. u a Ejemplo 4. Balancee la reacci’ n qu’ o mica a CH4 + b 02 c C02 + d H2 0 Soluci•n o para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el n’ mero de mol’ culas de las sustancias en la u e 4 reacci’n debemos igualar el n’ mero de ‘tomos en cada iembro: o u a Por los ‘tomos de carbono a azc Por los ‘tomos de ox• a Igeno 2b = 2c + d Por los ‘tomos de hidr’ geno a 04a 2d o Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La f’ rmula general para las soluciones queda: a – Id 2 dc- Id 2 El valor m «s peque -o de d que hace que los n’ meros de mol culas sean enteros positivos es d = 2: anuea- 1, b = 2, c = 1, y 4. 6. Aplicaciones a Manufactura Ejemplo 4. Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: ca -on, clon, y lenta-pero-segura. para n armar una computadora modelo ca -on necesita 12 horas e ensamblado, 2. 5 para probarla, y 2 m ‘s para n a instalar sus programas. para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1. 5 para probarla, y 1. 5 para ‘ instalar programas. Si la f’ brica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 a horas pa programas. Si la f’ brica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 a horas para instalaci ‘ n de programas, ¿cu ‘ ntas computadoras se pueden producir por mes? Soluci • n o En nuestro caso las inc ‘ gnitas el n • mero de cada tipo de computadora a producir: o u x = n’ mero de computadoras ca-on u ny = n mero de computadoras clon u z = n’ mero de computadoras lenta-pero-segura u Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalaci» n de prograo mas. Ensamblado 556(totaI) 12 x(ca-on) + 10 y(clon) + 6 z(lenta) n Pruebas 120(total) 2. 5 x(ca-on) + 2 y(clon) + 1. 5 z(lenta) n Instalaci’n de programas o 103(total) 2 x(ca -on) + 2 y(clon) + 1. 5 z(lenta) n Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18 5 Dado lo com’nde las aplicaciones hacia el • rea de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz u a del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla: En la ultima columna aparecen los recursos: un rengl’ n para cada tipo de recursos y en cuya posici’n ‘ o o final se pone el total de recursos disponibles.

En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posici n se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto. o Recursos requeridos por unidad que consume en forma unitaria cada tipo de objeto. Recursos requeridos por unidad Ca -on Clon n Lenta 12 10 6 2. 5 2 1. 5 2 2 1. 5 Recurso Ensamble Pruebas Instalaci ‘n o Total 556 120 103 4. 7. Aplicaciones Diversas Ejemplo 4. 8 un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este a -o viaj tres veces. La primera vez cambi ‘ un n o o total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1. 5 francos y 1. marcos por dolara La segunda vez, cambi’ un o total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1. 2 francos, y 1. marcos por dolar. La tercera vez cambi’ $434 0 en total, a $125 yenes, 1. 2 francos, y 1. 2 marcos por dolara ¿Qu’ cantidades de yenes, francos y marcos e compr• cada vez? o Soluci ‘n o En nuestro caso las inc gnitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los o tres viajes: x = cantidad de yenes y = cantidad de francos z = cantidad de marcos Primera vez: 434(total) = Segunda vez: 406(total) Tercera vez: 434(total) Resolviendo el sistema antenor 10500, y = 126, z = 294 1 1 1 x+Y+z 100 1. 5 1. 21 11 100 1. 2 1. 51 11 125 1. 2 1. 2 81_1f8