Algoritmo d bifurcacion

Algoritmo d bifurcacion gy lunita2189 gexa6pR 03, 2010 4 pagos ALGORITMO DE BIFURCACION Y ACOTAMIENTO Es el método más eficiente para encontrar los valores óptimos enteros para las variables de decisión de un Modelo de Programación Lineal Entera. En términos generales, el algoritmo de bifurcación y acotamiento es una metodología que consiste en dividir, progresivamente, un modelo de programación lineal, en modelos cuyas zonas de soluciones factibles son sub-conjuntos no traslapados de la zona de soluciones factibles del modelo original.

Esta división se realiza en la práctica creando, a partir de un modelo dado, dos nuevos odelos que acoten, restrinjan, a una de las variables de valor óptimo decimal. El primer modelo se genera agregando una restricción que acote dicha variable a valores menores o iguales a la parte entera de la solucion o tima el se undo, agregando una S»ipeto Swp to page restricción que acote ora parte entera más un repite sucesivament asta e entera.

En estas circu cuya cuspide es el m la yares o iguales a la Esta metodología se r solución óptima árbol de modelos ha expandido sucesivamente al efectuar la bifurcación por el acotamiento de las varia variables de valor óptimo decimal. Cada modelo queda epresentado por

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un nodo y cada nueva restricción por una rama que conecta un nodo con el siguiente Al resolver este modelo de P. L. e llega a la solución óptima teórica: XI 3,75 X2 25 y Z*= 50,625 y debemos reconocer que no existe solución factible que implique un valor mejor para la Función Objetivo. Para encontrar una primera solución factible entera para el modelo, normalmente se recurre a una de dos prácticas: La aproximación del valor decimal de la variable al entero superior o inferior, dependiendo del valor decmal, o bien el truncamiento de la solución decimal de las variables de decisión a su parte entera.

Cualquiera de estas aproximaciones debe ser verificada en cuanto a su factibilidad, es decir, a que para esos valores enteros de las variables de decisión todas las restricciones del modelo se cumplan. Si se aplica la primera aproximación al problema ejemplo, se tiene que XI = 4 y X2 = 4 no es una solución factible para el modelo, ya que no se cumple la primera restricción. En cambio la aproximación por truncamiento XI = 3yX2 = 4 si es factlble y da un valor de Z = 44, inferior al de la solución óptima decimal, como era lógico esperar.

Definiremos: Uk = Valor óptimo de la F. O. para el modelo del nod Uk = Valor óptimo de la F. O. para el modelo del nodo k Ul = Mejor cota superior actual F = Mejor solución entera encontrada. El proceso de bifurcación y acotamiento se detiene en un nodo específico cuando se presenta una de las siguientes circunstancias: CIOEI modelo del nodo k no tiene solución. DÜEI valor óptimo de la F. O. Uk es menor o igual que el mejor valor para solución entera encontrado al momento, F. Uk DOF) CIOLa solución óptima del modelo del nodo es entera. En estas circunstancias el nodo k=l del modelo ejemplo sería: A partir de este modelo se crean dos nuevos modelos, acotando omo se indicó anteriormente cualquiera de las variables de decisión decimales, por ejemplo XI . Con ello el árbol de soluciones queda: Las respectivas soluciones no son con variables óptimas enteras y los valores uk óptimos son mejores que F por lo que el proceso de ramificación y acotamiento continúa.

El árbol del proceso se detalla en la siguiente figura: En el árbol se puede notar que: DELOS nodos 5, 7 y 11 son terminales de la rama respectiva puesto que son modelos que no tienen solución factible. DÜEI nodo 4 es terminal porque representa un modelo con solución entera, que es la misma que logramos inicialmente por runcamiento de la solución d 3Lvf4 modelo con solucion entera, que es la misma que logramos inicialmente por truncamiento de la solución decimal óptima del modelo original.

CIOEI nodo 8 es Igualmente terminal por representar una solución entera pero en este caso es mejor que la encontrada por truncamiento inicialmente y por lo tanto da origen a un nuevo valor de F y a partir de ese nivel las soluciones se deben comparar contra F 47 en reemplazo de F 44. DEEI nodo 12 es terminal también por representar una solución entera. Sin embargo no se considera por tener un valor para la función objetivo menor que el F = 47 vigente.

DÜPor último el nodo 13 termina con una solución entera que resulta ser mejor que la encontrada en el nodo 8, por ello pasa a ser el nuevo F = 48 y en atención a que todas las ramas han terminado, el algoritmo concluye que la Solución Optima Entera es: XI 6, X2 48 El resultado óptimo entero obtenido permite usarlo de ejemplo para destacar lo siguiente: Dül_lna solución redondeada no es necesariamente óptima, tampoco asegura estar cerca de la solución óptima y puede que no sea siquiera factible. APUNTES DE CLASES «INVESTIGACION OPERATIVA» Facultad de Ingeniería PROF. JUAN A. CARVAJAL G.