Algebra

Concepto general de calculo [editar] El calculo es un sistema de simbolos no interpretados, es decir, sin significacion alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintacticas entre los simbolos para la construccion de expresiones bien formadas (EBF), asi como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologias. Un calculo consiste en: 1. Un conjunto de elementos primitivos.

Dichos elementos pueden establecerse por enumeracion, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuando un elemento pertenece o no pertenece al sistema. 2. Un conjunto de reglas de formacion de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuando una expresion pertenece al sistema y cuando no. 3. Un conjunto de reglas de transformacion de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresion bien formada del calculo podremos obtener una nueva expresion equivalente y bien formada que pertenece al calculo.

Cuando en un calculo asi definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomatico. Un calculo asi definido si cumple

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al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Calculo Perfecto: 1. Es consistente: No es posible que dada una expresion bien formada del sistema, f, y su negacion, no ? f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradiccion entre las expresiones del sistema. 2.

Decidible: Dada cualquier expresion bien formada del sistema podemos encontrar un metodo que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresion es o no es un teorema del sistema. 3. Completo: Cuando dada cualquier expresion bien formada del sistema, podemos establecer la demostracion o prueba de que es un teorema del sistema. La misma logica-matematica ha demostrado que tal sistema de calculo perfecto «no es posible» (vease el Teorema de Godel). El calculo logico [editar] Articulo principal: Calculo logico

Entendemos aqui por calculo logico, un algoritmo que permite comoda y facilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como validamente verdaderos. La inferencia o deduccion es una operacion logica que consiste en obtener un enunciado como conclusion a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicacion de reglas de inferencia. 14 Decimos que alguien infiere -o deduce- «T» de «R» si acepta que si «R» tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, «T» tiene valor de verdad V. Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo.

Partimos de enunciados empiricos -supuestamente verdaderos y validos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, segun las leyes de la logica natural. 15 La logica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformacion de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusion es necesariamente verdadera.

Al aplicar las reglas de este calculo logico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolizacion adecuada de formulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo. Sistematizacion de un calculo de deduccion natural [editar] Reglas de formacion de formulas [editar] I. Una letra enunciativa (con o sin subindice) es una EBF. II. Si A es una EBF, ¬ A tambien lo es. III. Si A es una EBF y B tambien, entonces A B; A B; A B; A B, tambien lo son. IV. Ninguna expresion es una formula del Calculo sino en virtud de I,II,III. Notas: A, B,… on mayusculas estan utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposicion, atomica (p,q,r,s…. ) o molecular (p/q), (p/q)… A, B,… son simbolos que significan variables; ¬, , , , , son simbolos constantes. Existen diversas formas de simbolizacion. Utilizamos aqui la de uso mas frecuente en Espana. 16 Reglas de transformacion de formulas [editar] 1) Regla de sustitucion (R. T. 1): Dada una tesis EBF del calculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del calculo, sera tambien una tesis EBF del calculo.

Y ello con una unica restriccion, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto. Veamos el ejemplo: 1 2 B donde y 3 C B donde C = 2) Regla de separacion (R. T. 2): Si X es una tesis EBF del sistema y lo es tambien X Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema. Esquemas de inferencia [editar] Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma: lo que constituye un esquema de inferencia en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas A, B,…

N y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusion Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley logica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautologia. Por la regla de separacion podremos concluir Y, de forma independiente como verdad. Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el calculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes logicas utilizadas como reglas de transformacion, como se expone en calculo logico.

Concepto de modelo [editar] Cuando en un Calculo C, se establece una «correspondencia» de cada simbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre si, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacio, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C. El lenguaje natural como modelo de un calculo logico [editar] Naturalmente el calculo logico es util porque puede tener aplicaciones, pero ? en que consisten o como se hacen tales aplicaciones?

Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C. Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalizacion de tal forma que podamos reducir las expresiones linguisticas del lenguaje natural a EBFs de un calculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad logica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en calculo logico. Las diversas formas en que tratemos las expresiones linguisticas dan lugar a sistemas diversos de formalizacion y calculo:

Calculo proposicional o calculo de enunciados Cuando se toma la oracion simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposicion atomica, como un todo sin analizar. La oracion simple: «Llueve», es tomada como posible valor de verdad o falsedad como una variable «p». Calculo como logica de clases Cuando se toma la oracion simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del analisis de la oracion como una relacion de individuos o posibles individuos que pertenecen o no pertenecen a una clase.

Siendo una clase el conjunto de posibles individuos en los que se incluye el Sujeto y la otra el conjunto de posibles individuos que se incluyen en el predicado de la oracion. Esta es la forma en la que en la actualidad se interpreta la logica silogistica de Aristoteles, que queda asi se reducida a un calculo segun la teoria de conjuntos La oracion simple «Todos los caballos corren por el campo» esta analizada como: La clase de todos los posibles seres que corren por el campo (B) incluye a la clase formada por todos los posibles seres que sean caballos (A). Calculo de predicados o cuantificacional

Cuando se toma la oracion simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del analisis de la misma de forma que una posible funcion predicativa (P), se predica de una posible sujeto variable (x) o de una constante individual existente (a). La oracion simple «los perros muerden» se interpreta de la siguiente forma =Todos los posibles perros; P = todas las posibles acciones de morder. = Para todo x (siendo x un perro) x muerde = Todos los perros muerden. En el caso de Desko que es mi perro al que simbolizo como una constante a: P(a) = Mi perro Desko muerde.

Calculo como logica de relaciones Cuando se toma la oracion simple significativa con posible valor de verdad propio, verdado o falso, como resultado del analisis de la oracion como una relacion «R» que se establece entre un sujeto y un predicado. Asi la oracion simple «Antonio es mayor que Pedro», se considera y simboliza bajo la relacion «ser mayor que» (R) que se da entre Antonio (a) y Pedro (p) y se simboliza como aRp. La simbolizacion y formacion de EBFs en cada uno de esos calculos, asi como las reglas de calculo se trata en calculo logico. Calculos matematicos [editar]

Portal:Matematica Contenido relacionado con Matematica. Calculo aritmetico [editar] Articulo principal: Aritmetica Aritmetica es la rama de las matematicas que estudia ciertas operaciones de los numeros y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente numeros y habilidad. El numero en aritmetica elemental tiene la consideracion de numero natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida. De hecho el calculo mas natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir. 7 Pero las formas y modos para realizar el calculo han surgido segun las diversas formas de sistemas de numeracion, asi como su transcripcion grafica. Algoritmos [editar] Articulo principal: Algoritmo Sistema numerico [editar] En el sistema numerico decimal, base 10, consta de 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),18 que adquieren un valor posicional a la hora de determinar el numero. Las posiciones se inician por la derecha: La primera indica las unidades; la segunda las decenas; la tercera las centenas; la cuarta el millar; siendo cada cifra a la izquiera tantas unidades de la potencia de 10 que corresponda al numero de la posicion.

El numero 7452: Se lee: Siete mil cuatrocientos cincuenta y dos. Y consta de 7 unidades de mil (millares), 4 de cien (centenas), 5 de 10 (decenas) y 2 unidades. Operaciones basicas del calculo: suma, resta, multiplicacion y division [editar] Las cuatro operaciones suma, resta, multiplicacion y division son las operaciones basicas del calculo, sobre las cuales se construyen todas las demas. Es lo que se ensena en la Escuela Primaria y se conoce como «Las cuatro reglas» y es considerado como la minima expresion de un conocimiento basico. 1. Algoritmo de la Suma Articulo principal: Suma

El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operacion de suma consiste en la union de las unidades contenidas en dos numeros, «sumandos», siendo el resultado la «Suma». Las tablas se leen como «una y una dos». 2. Algoritmo de la resta Articulo principal: Resta El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. La operacion de resta se considera como la diferencia entre dos numeros, uno mayor «Minuendo» y otro menor «Sustraendo», siendo el resultado «Resta». Las tablas se leen como «de tres a cinco 2». 3. Algoritmo de la multiplicacion Una ultiplicacion de ejemplo Articulo principal: Multiplicacion La multiplicacion es una suma reiterativa de un mismo numero, el «multiplicando», tantas veces como unidades tenga otro numero, el «multiplicador». El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales. «Que se leen «una por una es 1»; «cinco por cuatro veinte» etc. (vease el articulo Tabla de multiplicar) 4. Algoritmo de la division Articulo principal: Division La operacion se realiza entre dos numeros, «dividendo» y «divisor», cuyo resultado expresa cuantas veces se encuentra contenido el divisor en el dividendo.

Equivale a medir el dividendo tomando como unidad el divisor. El resultado se llama «cociente», y las unidades no divisibles se denominan «resto». Operacionalmente consiste en ir restando sucesivamente el divisor al dividendo hasta que finalmente quede un resto menor que el divisor. El algoritmo se construye a partir de unas tablas elementales que se leen: «una entre una a una». Algoritmo de potencias y raices [editar] Algoritmo de la raiz cuadrada Potencias Por potencia se entiende el resultado de multiplicar un mismo numero, llamado «base», tantas veces como indica un indice o «exponente».

Se representa como bn, donde b es la base y n el exponente. Asi: El algoritmo de calculo de una potencia, aplicando las tablas de multiplicar sucesivamente y su algoritmo no ofrecen problema alguno. Raices Mayor dificultad ofrece el calculo de raices, exponiendo como caso elemental, el algoritmo de la raiz cuadrada. La raiz es la operacion inversa de la potencia. Se expresa donde x se llama «radicando» y n «raiz», y se trata de calcular un numero y tal que yn + r = x siendo r un resto, si lo hubiera, por no ser la raiz exacta.

Este algoritmo de calculo aritmetico esta completamente obsoleto desde el momento que las calculadoras electronicas resuelven dicho calculo con absoluta sencillez. En la Escuela se aprendia el de la raiz cuadrada, olvidado por muchos, como tantos otros, por lo que encontramos interesante su descripcion, a modo de curiosidad y recordatorio: Situamos como indica la figura el numero, “radicando”, del que queremos extraer la raiz, en unas lineas como indica la misma figura. Sea el numero 9874285. Se descompone en grupos de dos cifras empezando por la cifra de unidades.

Se toma el primer grupo de la izquierda, de una o dos cifras, segun el numero tenga un numero de cifras par o impar, y conforme a las tablas de multiplicar se toma el numero que multiplicado por si mismo, del 1 al 9, mas se acerque a la cifra o cifras primeras. En el caso que nos ocupa al ser impar, la cifra a considerar es el 9 y el numero que nos indica la tabla de multiplicar el 3, que colocamos como indica la figura como primera cifra de la raiz que pretendemos calcular. Se calcula la diferencia entre las cifras o cifra del numero con la aproximacion considerada anteriormente.

En el caso que estamos considerando 9 – 9 = 0, y a esta diferencia se le anaden como si fuera un nuevo numero las dos cifras siguientes del radicando. En nuestro caso 87. Este numero lo dividimos por el doble de la cifra que ya hemos considerado de la raiz. En este caso el 6, al que anadimos la cifra que consideremos como cociente, bajo la condicion de que multiplicado el numero que resulta de unir el doble de la cifra raiz con dicho cociente por el propio cociente, mas se aproxime al numero diferencia de la operacion anterior por defecto.

En el caso que nos ocupa 87 : 61 = 1; de lo que resulta 61 x 1 = 61, calculando la diferencia con el 87 anterior, y anadiendo la cifra 1 a la raiz. Repetimos la misma operacion anadiendo las cifras siguientes del radicando, 42 que dividimos por el doble de 31; 31 x 2 = 62: dividiendo 2642 : 62 = 4; de donde 624 x 4 = 2496, incorporando el 4 a la raiz y procediendo de igual forma con todas las cifras del radicando. El resultado final debe corresponder a la operacion de calculo siguiente: 3142 x 3142 + 2121 = 9874285 2. Calculo algebraico [editar] Articulo principal: Algebra elemental

Articulo principal: teorema fundamental del algebra 3. Calculo infinitesimal o calculo diferencial e integral: breve resena [editar] El calculo infinitesimal, llamado por brevedad «calculo», tiene su origen en la antigua geometria griega. Democrito calculo el volumen de piramides y conos considerandolos formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeno). Eudoxo y Arquimedes utilizaron el «metodo de agotamiento» o exhaucion para encontrar el area de un circulo con la exactitud finita requerida mediante el uso de poligonos regulares inscritos de cada vez mayor numero de lados.

En el periodo tardio de Grecia, el neoplatonico Pappus de Alejandria hizo contribuciones sobresalientes en este ambito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con numeros irracionales y las paradojas de Zenon de Elea impidieron formular una teoria sistematica del calculo en el periodo antiguo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el algebra para encontrar el area y las tangentes (integracion y Derivacion en terminos modernos).

Fermat y Barrow tenian la certeza de que ambos calculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del area y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del calculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoria de la gravitacion universal, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicacion aun provoca controversias sobre quien de los dos fue el primero. Newton utilizo el calculo en mecanica en el marco de su tratado «Principios matematicos de filosofia natural», bra cientifica por excelencia, llamando a su metodo de «fluxiones». Leibniz utilizo el calculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como limite de aproximaciones sucesivas, dando un caracter mas filosofico a su discurso. Sin embargo, termino por adoptarse la notacion de Leibniz por su versatilidad. En el siglo XVIII aumento considerablemente el numero de aplicaciones del calculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, asi como la intuicion geometrica, causaban todavia confusion y duda sobre sus fundamentos.

De hecho, la nocion de limite, central en el estudio del calculo, era aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus criticos mas notables fue el filosofo George Berkeley. En el siglo XIX el trabajo de los analistas matematicos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos solidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precision los conceptos de limite en terminos de epsilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los numeros reales.

Fue el periodo de la fundamentacion del calculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los reciprocos son falsos. En el siglo XX, el analisis no convencional, legitimo el uso de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparicion de las Computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del calculo.

Actualmente, el calculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su caracter disciplinario en la formacion de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este ambito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina cientifica que ha desembocado en ambitos tan especializados como el calculo fraccional, la teoria de funciones analiticas de variable compleja o el analisis matematico.

El exito del calculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al calculo de vectores, al calculo de variaciones, al analisis complejo y a las topologia algebraica y topologia diferencial entre muchas otras ramas. El desarrollo y uso del calculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las areas de la vida moderna: es fundamento para el calculo numerico aplicado en casi todos los campos tecnicos y/o cientificos cuya principal caracteristica es la continuidad de sus elementos, en especial en la fisica.

Practicamente todos los desarrollos tecnicos modernos como la construccion, aviacion, transporte, meteorologia, etc. hacen uso del calculo. Muchas formulas algebraicas se usan hoy en dia en balistica, calefaccion, refrigeracion, etc. Como complemento del calculo, en relacion a sistemas teoricos o fisicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matematica discreta.